一般來說，一個n級系統(tǒng)可由n個透鏡串聯(lián)組成，經(jīng)過優(yōu)化設(shè)計的衍射光學(xué)元件如相位板等相應(yīng)的放置在系統(tǒng)的空間域和頻譜域，當(dāng)系統(tǒng)在平面波照明下，便能在輸出平面獲得解密圖像。這些衍射元件可以級聯(lián)迭代傅立葉變化算法設(shè)計，計算機(jī)模擬結(jié)果顯示，算法具有很快的收斂速度，而且所應(yīng)用于的系統(tǒng)的級次越多，相應(yīng)的收斂速度越快。

一、級聯(lián)加密系統(tǒng)和算法

如圖1所示，一般來說，一個n級的加密系統(tǒng)需要用刀個透鏡串聯(lián)組成，當(dāng)n為偶數(shù)時，解密圖像出現(xiàn)在空間域，而當(dāng)n為奇數(shù)時，解密圖像出現(xiàn)在頻譜域，為便于表述，我們把圖1中從左到前船個平面的坐標(biāo)系依次定義為(x1，y1)，(X2，y2)...(Xn，yn)，這些平面上的相位分布分別為exp[jφ1(x1，yl)]，exp[jφ2(x2，y2)]...exp[jφn(xn，yn)]。

于是，當(dāng)n為偶數(shù)時，在輸出平面得到的圖像為：

而當(dāng)n為奇數(shù)時，在輸出平面得到的圖像為：

其中FT和IFT分別表示Fourier變換和逆Fourier變換．圖像加密的過程可以看成根據(jù)系統(tǒng)級數(shù)的要求求解積分方程(la)或(lb)使得輸出圖像g(x，y)的模盡可能等于原始圖像g(x，y)，這個問題仍然可以用CIFT算法的思想進(jìn)行求解。

首先，隨機(jī)初始化各個平面上的相位分布exp[jφ1(x1，yl)]，exp[jφ2(x2，y2)]...exp[jφn(xn，yn)]，然后把這些相位函數(shù)按照方程(la)或(lb)變換到輸出平面得到當(dāng)前次迭代輸出g(x，y)，如果g(x，y)滿足停止條件，則算法停止，當(dāng)前的exp[jφ1(x1，yl)]，exp[jφ2(x2，y2)]...exp[jφn(xn，yn)]即為最優(yōu)解，也就是成功的把原始圖像g(x，y)加密成相位函數(shù)φ1(x1，yl)，φ2(x2，y2)...φn(xn，yn)，一般來說，算法停止的評判標(biāo)準(zhǔn)可以通過計算迭代產(chǎn)生的圖像與原始圖像之間的均方差(Mean Square Error -MSE)：

來衡量，當(dāng)MSE小于某個既定閾值f時，可認(rèn)為迭代收斂，算法停止，否則，以g(x，y)對當(dāng)前輸出函數(shù)的模進(jìn)行約束而保留其相位不變，然后一級一級的反向變換回到輸入平面。當(dāng)前次迭代在第k個平面得到的新的相位分布可由反向變換時該平面上產(chǎn)生的相位分布減去正向變換時該平面上產(chǎn)生的相位分布而得到，然后以這些新的相位函數(shù)代入方程(la)或(lb)進(jìn)行下一次迭代，直到滿足停止的評價標(biāo)準(zhǔn)。

該算法在每次迭代過程中，均調(diào)整各個平面上的相位分布，使算法快速收斂，產(chǎn)生的加密圖像φ1(x1，yl)，φ2(x2，y2)...φn(xn，yn)一方面可以通過微細(xì)加工技術(shù)制作成DOEs的形式，分配給合法用戶：另一方面，也可以以數(shù)字形式保存在計算機(jī)里，合法用戶通過個人標(biāo)志碼對相應(yīng)的加密圖像進(jìn)行訪問、調(diào)用以獲得解密圖像，解密過程只是簡單的進(jìn)行方程(la)或(lb)的變換，這個過程可以以光學(xué)系統(tǒng)實現(xiàn)，也可以通過數(shù)字方法來實現(xiàn)。

三、計算機(jī)模擬結(jié)果

為驗證算法的有效性和系統(tǒng)的性能，我們以圖2(a)所示的128x128，256灰度的圖像作為原始圖像進(jìn)行計算機(jī)模擬，并以2級、3級和4級系統(tǒng)進(jìn)行比較。

在2級(4-f)系統(tǒng)中CIFT算法中有快速收斂特性和極高質(zhì)量的恢復(fù)原始圖像的能力，因此，為了在這些級聯(lián)加密系統(tǒng)中均能獲得高質(zhì)量的解密圖像，我們把MSE的閾值f設(shè)定為Sxl0-30.當(dāng)?shù)械玫降腗SE小于f時，運(yùn)算停止，可以預(yù)期能獲得非常高質(zhì)量的解密圖像，乃至于跟原始圖像相比幾乎沒有感官上的任何差別，由2級、3級和4級系統(tǒng)解密的圖像如圖2(b)—(d)所示。

然而，應(yīng)用于不同級次的算法的收斂速度是有所差別的．如表1所示，在模擬計算中，應(yīng)用于2級系統(tǒng)的算法需要經(jīng)過175次迭代和46.0630秒才能使MSE達(dá)到閾值：對于應(yīng)用于3級系統(tǒng)的算法來說這兩個數(shù)據(jù)要大大降低，分別只有60次和19.3900秒：而對于應(yīng)用于4級系統(tǒng)的算法更是分別減小到35次和13.9370秒8．顯然，應(yīng)用于多級次系統(tǒng)的算法收斂速度更快。

級聯(lián)加密系統(tǒng)不僅僅具有理論上的優(yōu)越性，在實際應(yīng)用中，這樣的系統(tǒng)更有利于提高安全性．由于優(yōu)化產(chǎn)生的一系列加密圖像φ1(x1，yl)，φ2(x2，y2)...φn(xn，yn)也正是密鑰函數(shù)本身，因此，可以采用所謂的密鑰共享(key-sharing)方案，用作多用戶系統(tǒng)：把密鑰φ1(x1，yl)，φ2(x2，y2)...φn(xn，yn)分別分配給n個不同的授權(quán)用戶。于是必須要得到所有這n個用戶的授權(quán)才能得到解密圖像或者對系統(tǒng)進(jìn)行訪問，攻擊者偷獲其中一個或者幾個密鑰并不能正確解密，此時系統(tǒng)的輸出只是類似于圖3所示的毫無意義的噪聲，密鑰的數(shù)量越多，攻擊者獲得所有密鑰的幾率越小，因而能降低系統(tǒng)遭到破解的風(fēng)險。

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