我們利用離散廣義混沌同步定理，基于3D-Lorenz系統(tǒng)構(gòu)造了一個新的離散混沌系統(tǒng)，并結(jié)合Arnold貓映射設(shè)計了一種音頻復(fù)合加密方案。該方案首先用復(fù)合系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌碼對明文進(jìn)行加密，然后將密文隱藏到wav語音信號中，解密過程能夠?qū)崿F(xiàn)無失真解密。

一、離散廣義混沌同步系統(tǒng)

1、離散廣義混沌同步理論

對兩個離散混沌系統(tǒng)，有如下定義：

定義1 ?考慮兩個混沌系統(tǒng)：

其中：

系統(tǒng)(1)稱為驅(qū)動系統(tǒng)，系統(tǒng)(2)稱為響應(yīng)系統(tǒng)。若存在一個映射H：Rm→Rm和開集B=Bx×By?RmXRm，使得當(dāng)初始條件(X(0)，y(O))∈B時，系統(tǒng)(1)和(2)的解(X(k)，y（k））滿足：

則稱響應(yīng)系統(tǒng)(2)與驅(qū)動系統(tǒng)(1)關(guān)于H在B上離散廣義混沌同步。若?(X(O)，y(0))∈Rn×Rn，式(7)均成立，則稱系統(tǒng)(1)與(2)關(guān)于H大范圍離散廣義混沌同步。

定理1 設(shè)X，Xm，y，F(xiàn)(X)及G(Y，X)由式(1)-式(6)定義，H:Rm—Rm是可逆變換，且xm=V(Y)=H-1(y)，假如式(1)與式(2)關(guān)于變換H是廣義混沌同步，那么式(2)中的G(Y，X)可寫成以下形式：

其中，

且函數(shù)，

使得誤差方程：

零解漸近穩(wěn)定。

2、離散廣義混沌同步系統(tǒng)

復(fù)合加密方案首先需要構(gòu)造一個新的離散廣義混沌同步系統(tǒng)。基于3D-Lorenz方程并且形如式(2)的GCS系統(tǒng)具體描述如下：

設(shè)驅(qū)動系統(tǒng)X(k+l)=F（X（k））為3D-Lorenz方程：

當(dāng)x1(1)=0.5，X2(1)=0.5，X3(1)=-1時，系統(tǒng)(9)能夠產(chǎn)生混沌軌道。，令H：R3→R3，構(gòu)造一個可逆變換，形式如下：

式中：是一個3×3可逆矩陣，

再令m=3，

則，

使其零解漸近穩(wěn)定，且q(Y，Xm)有形式：

由定理1得到響應(yīng)系統(tǒng)方程；

另：

則系統(tǒng)(9)和系統(tǒng)(12)產(chǎn)生的混沌軌道如圖1所示。從圖1中可以看出，驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)為兩個混沌吸引子和關(guān)于傳遞函數(shù)離散廣義混沌同步。

二、基于離散廣義同步的復(fù)合混沌音頻加密方案

1、Arnold離散貓映射

標(biāo)準(zhǔn)的Arnold離散貓映射屬于=維混沌系統(tǒng)。Arnold離散貓映射的表達(dá)式如下：

式中，k=2。

當(dāng)選擇初始條件為X(o)一（0，1/根號2）T時，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。圖2所示為Arnold離散貓映射取上述初始條件時前4000次迭代產(chǎn)生的運動軌跡。從圖2中可以看出，Arnold離散貓映射的迭代點分布非常均勻。

2、復(fù)合音頻隱藏算法

本文基于離散廣義混沌同步的3D-Loren2系統(tǒng)(12)和Arnold貓映射提出了一種復(fù)合音頻加密算法。

假設(shè)發(fā)送方A需要通過傳輸網(wǎng)絡(luò)向接收方B秘密發(fā)送一段txt文本信息撒，其隱藏流程圖如圖3所示，具體實現(xiàn)步驟如下：

(1)加密過程：發(fā)送方A隨機(jī)選取初始條件cx（o），y（0）∈BxXBy，用其驅(qū)動混沌系統(tǒng)(1)產(chǎn)生3D-Lorenz混沌序列碼Chaosl，而后隨機(jī)選取初始條件X'(O)∈B'x驅(qū)動混沌系統(tǒng)(2)產(chǎn)生Arnold混沌序列碼Chaosz。用變換規(guī)則TM從Chaos1和Chaos2中提取出一組復(fù)合混沌源碼M=TM(ChaOSl，ChaoS2)得到Xi。取出N位有效數(shù)字組成整數(shù)并對其進(jìn)行256取余，把文本信息優(yōu)變換成Te（m）。用公式C=E(M，Te(m)）加密明文P產(chǎn)生密文C，用Z=f((X(o)，y(O))，X1(0)）加密初始條件(X(0)，y(0))和X’(0)，其中E為加密函數(shù)。發(fā)送方A把密文C、初始條件Z分別隱藏到雙聲道語音信號的左聲道和右聲道的第7，8位上。最后A把隱藏密文和初始條件后的語音信號傳給接收方B。

(2)解密過程：接收方B把密文C、初始條件Z分別隱藏到雙聲道語音信號的兩個聲道的第7，8位上分離出來。用初始條件(X(0)，y(O))、X7(0)分別驅(qū)動混沌系統(tǒng)(9)，(12)得到Chaos1，Chaos2，并利用(1)中通信雙方在通信前約定的混沌序列的復(fù)合變換規(guī)則TM得到M。最終B用P=D(M，C)解出明文P和密文C，其中D為解密函數(shù)。

三、仿真實驗

本方案采用matlab7.5仿真實現(xiàn)，偽裝的語音信號為某流行歌曲的片段，分別對左聲道進(jìn)行密文信息隱藏，對右聲道進(jìn)行密鑰隱藏。載體信號為雙聲道高保真音樂，采樣頻率為44.1okHz，量化精度16比特，位速1411kbps。需要加密傳遞的文本文件為txt文件，如圖4(a)所示。

密鑰集keys中取值分別為：

隱藏前后的語音信號波形如圖5所示，由圖可以看出，左右信號的相關(guān)性標(biāo)準(zhǔn)偏差沒有任何變化，平均值僅有微小變化。待隱藏的被正確解密的文本為圖4(b)。被隱藏的文本信息通過密鑰組無損精確地恢復(fù)。若初值有微小擾動，混沌碼就會有明顯變化，對方將無法正確提取明文。如對密鑰進(jìn)行b11=b11+10-1-5擾動，則得到的解密結(jié)果如圖4(c)所示，此時所解密的文本信息呈現(xiàn)亂碼狀態(tài)。

四、安全性分析

1、密文熵分析

香農(nóng)提出了信息熵的概念，用以表征信源的不定度。對概率分布為(P1，P2，…．，Pn)的離散集，其信息熵定義為：

當(dāng)信源概率分布為等概率分布時，信息熵能取到最大值log2（n）bit這就是最大熵原理。我們將利用變換將混沌流變?yōu)閇o，255]之間的整數(shù)值，形成密鑰流。我們可以用密鑰流的信息熵來度量密鑰流的不確定性的程度。當(dāng)密鑰流的概率分布為等概率分布時，即取[o，255]之間每一個值的概率均為l/256時，具有最大熵為1092256=8bit，也就是說信息熵越接近8，說明混沌碼的隨機(jī)性越好。

3D-Lorenz系統(tǒng)的混沌碼的熵H1=7.9516

Arnold貓映射的熵H2=7.9561

同步系統(tǒng)的混沌碼的熵H3 =7.9550

兩個系統(tǒng)復(fù)合變換后混沌碼的熵H=7.9571

從測試數(shù)據(jù)可以看到，GcS與Arnold貓映射兩個系統(tǒng)經(jīng)過變換后的復(fù)合系統(tǒng)，其混沌碼的信息熵比任何單個系統(tǒng)的信息熵都更接近于8，說明復(fù)合系統(tǒng)所設(shè)計的混沌序列在隨機(jī)性上比單個系統(tǒng)更有優(yōu)越性。

2、相關(guān)性分析

本文實驗測試中，對某一流行歌曲的片段進(jìn)行實驗，此處只對左聲道進(jìn)行信息隱藏，右聲道無變化。載體信號為雙聲道高保真音樂，采樣頻率為44.1okHz，量化精度16比特，位速141Ikbps。圖5(a)和(b)分別為原信號左右聲道波形，(c)和(d)分別為隱藏信息的信號波形剛由于本實驗只對左聲道進(jìn)行信息隱藏，因此右聲道波形無變化。下面分別對隱藏前后左聲道、隱藏前左右聲道和隱藏后左右聲道的相關(guān)性進(jìn)行計算。

隱藏前后左聲道的相關(guān)性為：

C1=9.999999999998264e-001

隱藏前左右聲道的相關(guān)性為：

C2=4.106738302228002e-001

隱藏后左右聲道的相關(guān)性為：

C3=4.=106738300576803e-001

從C1可以看出隱藏前后左聲道的相關(guān)性接近1，說明隱藏信號前后左聲道信息幾乎無變化。從C2和C3可以看出，隱藏前后左右聲道的相關(guān)性大小關(guān)系幾乎維持不變。

3、密鑰敏感性測試

本方案對密鑰進(jìn)行了敏感性測試。按以下步驟對3D-Lorenz系統(tǒng)初值x(o)及可逆矩陣B所構(gòu)成的密鑰組中的密鑰進(jìn)行微擾測試。

令舍棄初始迭代次數(shù)N-5000。將初始條件x(o)及參數(shù)B進(jìn)行微擾，產(chǎn)生一維密鑰流云，與未擾動時產(chǎn)生的一維密鑰流c進(jìn)行比較。取密鑰流的長度為1250010（ASCII碼）。密鑰流云與e對應(yīng)位的變化個數(shù)的百分比如表1所列。由表1得到三與c位變化個數(shù)的平均值為99.600%，非常接近于理想值的99.609%(255/256）。由此得出本文的密鑰流生成器具有優(yōu)質(zhì)的偽隨機(jī)性功能。

4、密鑰空間分析

通過對密鑰密感性測試的數(shù)值模擬表明，本算法對密鑰集keys來講，任何試圖用微小偏差10-15來解密原始文本均是不可能的，因此本方案的密鑰空間至少可達(dá)到10195，遠(yuǎn)大于提到的1045個密鑰個數(shù)。此外，由于設(shè)計的同胚函數(shù)可以是不計其數(shù)的，使得密鑰空間足以滿足安全通訊的各種要求，對入侵者的強(qiáng)力攻擊手段有很強(qiáng)的抵抗能力。

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