虛擬光學(xué)加密系統(tǒng)之耦合鋸齒混沌映射
admin 因時(shí)空混沌系統(tǒng)具有初值和控制參數(shù)的高度敏感性，并能產(chǎn)生大量非相關(guān)的偽隨機(jī)序列的特性，我們提出了一種基于耦合鋸齒混沌映射生成虛擬光學(xué)加密系統(tǒng)的隨機(jī)模板的方法。該方法基于交叉耦合映像格子模型，局部狀態(tài)演化方程采用鋸齒混沌映射，構(gòu)成時(shí)空混沌系統(tǒng)。
一、相關(guān)原理
1、虛擬光學(xué)透鏡成像加密原理
虛擬光學(xué)透鏡成像加密原理所對應(yīng)的原型即是透鏡成像原理，假設(shè)前提：虛擬光學(xué)透鏡成像系統(tǒng)由相同選定波長的相干光照明，同時(shí)所涉及的衍射都滿足菲涅爾近似條件。信息平面和隨機(jī)模板在透鏡前表面發(fā)生干涉，得到復(fù)振幅分布，然后透過透鏡得到加密結(jié)果。
根據(jù)傅里葉光學(xué)原理，虛擬光波從一個(gè)平面到另一個(gè)平面的傳播過程可以用菲涅爾衍射變換(DFD)公式表示。虛擬光波從透鏡的后表面到像平面的傳播過程亦可用菲涅爾衍射變換來表示。設(shè)信息平面為Uo，透鏡前表面的復(fù)振幅分布為U1，得到離散菲涅爾變換公式如下：
其中，△ξ、△η和△x、△y分別是透鏡前表面和信息平面復(fù)振幅在x方向和y方向上的采樣步長。離散菲涅爾變換(DFD)的計(jì)算可由離散傅里葉變換(DFT)代替實(shí)現(xiàn)，因此，為提高計(jì)算速度可使用快速傅里葉變換(FFT)來計(jì)算式中DFD。
透鏡的復(fù)振幅透過率經(jīng)采樣得到其離散形式：
其中，為透鏡焦距；m，n∈{O，1，2，…，N-1}。
隨機(jī)模板Um、信息平面到透鏡前表面的距離d0、隨機(jī)模板到透鏡前表面的距離d、透鏡的焦距f，波長λ形成了該加密系統(tǒng)的密鑰。
2、時(shí)空混沌映射
時(shí)空混沌是一種非線性動力系統(tǒng)，該系統(tǒng)在時(shí)間和空間方向上都具有混沌行為。這種時(shí)空行為需要構(gòu)造合適的模型來處理，例如耦合常微分方程、元胞自動機(jī)、耦合映像格子。文中使用的足基于交叉耦合映像格子模型的時(shí)空混沌系統(tǒng)?；诮徊骜詈嫌诚窀褡幽Ｐ偷幕煦缦到y(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為：
其中，xni表示第i個(gè)格子在n時(shí)刻的狀態(tài)，i=l，2，…，L(L為格子數(shù)，由系統(tǒng)大小決定)；ε為耦合系數(shù)，滿足o<ε<1；邊界條件為xni+l=xni：f(x)為格子的局部狀態(tài)演化方程，一般取混沌映射。這里采用鋸齒混沌映射：
其中，鋸齒映射參數(shù)F:[O，1]→[O，1]，當(dāng)l<β∈R時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，取β=1011/7。設(shè)β=P/q，其中p和q是兩個(gè)互質(zhì)的整數(shù)。當(dāng)β= 181/17和β=1011/7時(shí)，對應(yīng)的鋸齒映射的相圖如圖1所示。
局部狀態(tài)演化方程可選擇帳篷等其他混沌映射。
圖1所示的系統(tǒng)就是基于交叉耦合映像格子模型的帳篷時(shí)空混沌系統(tǒng)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)耦合系數(shù)ε的取值小于0.01時(shí)，基于交叉耦合映像格子模型的鋸齒混沌系統(tǒng)可以生成具有均勻分配的混沌序列。
二、基于時(shí)空混沌映射的虛擬光學(xué)透鏡成像加密系統(tǒng)
圖2是基于時(shí)空混沌映射的虛擬光學(xué)透鏡成像加密系統(tǒng)的原理圖，該系統(tǒng)主要包括兩個(gè)部分：一是時(shí)空混沌系統(tǒng)，二是虛擬光學(xué)透鏡成像系統(tǒng)。文中時(shí)空混沌系統(tǒng)的驅(qū)動序列由Logistic混沌映射產(chǎn)生。
初始驅(qū)動序列可以隨機(jī)產(chǎn)生，也可以由一維混沌映射產(chǎn)生，例如Logistic映射、chebyshev映射、Tent映射、super_hybrid映射等等。
1、新方案的加密解密算法
加密過程可描述為：在加密端，信息平面Uo和隨機(jī)模板Um分別進(jìn)行距離為d0和d的菲涅爾衍射，兩者在透鏡前表面發(fā)生干涉，得到透鏡前表面的復(fù)振幅分布U1，U1經(jīng)透鏡的復(fù)振幅透過率t得到透鏡后表面的復(fù)振幅分布U2，作為加密結(jié)果在通信線路上傳播。在解密端，隨機(jī)模板Um分別進(jìn)行距離為d的菲涅爾衍射得到U’m，加密結(jié)果U2減去U’m的結(jié)果再經(jīng)距離為di的菲涅爾衍射得到像平面的復(fù)振幅分布Ui，此時(shí)的Ui是原信息平面的倒像。
1)加密算法
輸人參數(shù)：待加密的信息平面Uo；
密鑰（lnit，w，α，do，d，λ，f）。
輸出參數(shù)：加密后的信息平面U2。
具體步驟：
(1)在時(shí)空混沌系統(tǒng)中由密鑰參數(shù)(init，w，α)產(chǎn)生二維時(shí)空混沌序列Um。
其中，fLogistic表示Logistic混沌映射，產(chǎn)生系統(tǒng)驅(qū)動序列，即0時(shí)刻各格子的初始值；init、w分別是混沌驅(qū)動Logistic映射的初始值和控制參數(shù)；fTeni表示帳篷混沌映射，為系統(tǒng)局部狀態(tài)演化方程；α是帳篷映射的控制參數(shù)；xni表示第i個(gè)格子在n時(shí)刻的狀態(tài)，i=l，2，…，M（M為格子數(shù)），n=l，2，…，N。最終產(chǎn)生一個(gè)二維的、大小等同于待加密的信息平面的時(shí)空混沌序列Um，其中M和N，是待加密的信息平面矩陣的行數(shù)和列數(shù)。
Logistic混沌映射公式為：
當(dāng)W∈（3.569 945 6，4]時(shí)，產(chǎn)生的序列處于混沌狀態(tài)。
(2)由密鑰參數(shù)（λ，f）計(jì)算出透鏡的復(fù)振幅透過率函數(shù)t。
(3)由密鑰參數(shù)(do，λ)計(jì)算出信息平面(Uo)到透鏡前表面的DFD變換DFD[Uo，λ，do]。
(4)由密鑰參數(shù)(d，λ)計(jì)算出二維時(shí)空混沌序列（Un）到透鏡前表面的DFD變換DFD[U0，λ，do]。
(5)它們在透鏡前表面的菲涅爾衍射圖案將發(fā)生干涉，得到干涉圖。干涉圖經(jīng)過透鏡復(fù)振幅透過率函數(shù)，轉(zhuǎn)換到透鏡后表面（U2）。
2)解密算法
輸入?yún)?shù)：加密后的信息平面U2；
密鑰（lnit，w，α，do，d，λ，f）。
輸出參數(shù)：原信息平面Uo。
具體步驟：
(1)利用密鑰參數(shù)(init，w，α)，生成二維時(shí)空混沌序列Um。同加密算法的步驟(1)。
(2)由密鑰參數(shù)（λ，f）計(jì)算出透鏡的復(fù)振幅透過率函數(shù)t。
(3)由密鑰參數(shù)(d，λ)計(jì)算出二維時(shí)空混沌序列（Um）到透鏡前表面的DFD變換DFD[Um，λ，d]。經(jīng)過透鏡的復(fù)振幅透過率函數(shù)t轉(zhuǎn)換，得到二維時(shí)空混沌序列到透鏡后表面的復(fù)振幅分布（U'm）。
(4)加密結(jié)果U2減去Um’得到信息平面到透鏡后表面的復(fù)振幅分布（Uo）。
(5)根據(jù)透鏡成像原理可由密鑰參數(shù)（d0，f）計(jì)算出像平面距離透鏡后表面的距離di。
(6)由密鑰參數(shù)A和噸計(jì)算出UO的DFD變換，即像平面的復(fù)振幅值。
(7)對Ui求膜平方得到信息平面的強(qiáng)度(V1)，此時(shí)得到的是原圖像的倒像，將坐標(biāo)翻轉(zhuǎn)即可得到正立圖像（V）2，（V）2為最終的解密結(jié)果。
2、加密算法的復(fù)雜度
該加密系統(tǒng)是由時(shí)空混沌系統(tǒng)和虛擬光學(xué)透鏡成像系統(tǒng)兩個(gè)部分組成。
時(shí)空混沌系統(tǒng)包括：加減運(yùn)算3N2次、鋸齒映射N（N-1）、Logistic映射N次。
虛擬光學(xué)透鏡成像系統(tǒng)加解密算法的核心是DFD，可變換為FFT。一維FFT的計(jì)算復(fù)雜度為O(Nlog2 N)，=維FFT的計(jì)算復(fù)雜度為0(2N log2N)。因此，計(jì)算DFD的時(shí)間復(fù)雜度為：
加密系統(tǒng)包括兩次DFD運(yùn)算，并將結(jié)果與透鏡的復(fù)振幅透過率函數(shù)相乘。
由于乘法運(yùn)算比加法運(yùn)算復(fù)雜，文中用乘法運(yùn)算次數(shù)近似為運(yùn)算工作量。
時(shí)空混沌系統(tǒng)的時(shí)間復(fù)雜度為T= O(N2)。整個(gè)虛擬光學(xué)成像加密算法的時(shí)間復(fù)雜度為：
由于虛擬光學(xué)透鏡成像解密算法，需要一次時(shí)空混沌模板建立、兩次DFD計(jì)算和一次與透鏡的復(fù)振幅透過率函數(shù)的乘法運(yùn)算，因此解密算法的時(shí)間復(fù)雜度與加密算法的時(shí)間復(fù)雜度相同。
由此可以看出，文中提出的算法復(fù)雜度和待加密信息的大小相關(guān)，待加密的信息越大，則算法復(fù)雜度越高，系統(tǒng)就越難破解，它們呈現(xiàn)非線性關(guān)系。
三、實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析
文中以Matlab7.0為仿真環(huán)境，采用的待加密的信息是512x512x8 bit的灰度圖Lena(采樣數(shù)N=512)和256x256x1bit的二維碼（采樣數(shù)N=256），混沌驅(qū)動Logistic映射的初值init=0.5706，控制參數(shù)w=4，鋸齒映射參數(shù)β=1011/7，二維時(shí)空混沌序列到透鏡前表面的距離d=0.01m，信息平面到透鏡前表面距離d0=0.1 m，波長λ=623×10-9m，透鏡焦距f=0.025m。
圖3(a)是文中提出的方案產(chǎn)生的二維混沌序列，圖3(b)中顯示了各種像素值的數(shù)量。由圖可知，像素值的分布擬平均分布，擬無特征序列碼。
小知識之耦合
耦合是指兩個(gè)或兩個(gè)以上的電路元件或電網(wǎng)絡(luò)的輸入與輸出之間存在緊密配合與相互影響，并通過相互作用從一側(cè)向另一側(cè)傳輸能量的現(xiàn)象。
