為了研究菲涅耳域光學(xué)圖像加密系統(tǒng)的解密過(guò)程，我們提出了一種根據(jù)對(duì)稱圖像加密密文恢復(fù)原圖像的方法。采用密文全息的逆菲涅耳變換重構(gòu)出頻譜強(qiáng)度，用CCD接收后送入計(jì)算機(jī)，根據(jù)離散菲涅耳變換的相關(guān)和復(fù)卷積的性質(zhì)，對(duì)其系數(shù)進(jìn)行分類和排列，可以恢復(fù)出入射光波，即可恢復(fù)原圖像。

一、菲涅耳域的對(duì)稱圖像雙隨機(jī)相位加密系統(tǒng)的解密分析

1、菲涅耳域的雙隨機(jī)相位加密系統(tǒng)

3塊平面板從左到右分別代表輸入面，變換平面和輸出面。exp[j2πφ(x，y)]和 exp[j2πφ(α，β)]是兩個(gè)隨機(jī)相位板，φ(x，y)和(α，β)是均勻分布在[O，1]上的兩個(gè)獨(dú)立的白噪聲序列，z1和z2是平面板之間的距離。當(dāng)系統(tǒng)被波長(zhǎng)為λ的平面光波垂直照射時(shí)，在輸出面得到加密圖像g（x，y）加密時(shí)，輸入信號(hào)f(x，y)受到第1個(gè)相位板RPM1的調(diào)制。

式中，F(xiàn)F表示菲涅耳衍射。然后，經(jīng)過(guò)距離z2，經(jīng)菲涅耳變換在輸出平面得到的加密圖像。

解密時(shí)，由于逆菲涅耳變換在光學(xué)上不存在，取g(x，y)的共軛來(lái)實(shí)現(xiàn)解密，解密的裝置與加密的裝置一樣，只是方向相反。g*（x，y）經(jīng)過(guò)兩次菲涅耳變換后得到原圖像。

由于f(x，y）是實(shí)函數(shù)，所以能夠用CCD獲得圖像的光強(qiáng)|f(x，y）|2，這說(shuō)明解密過(guò)程中輸入平面密鑰不起作用。

2、菲涅耳域雙隨機(jī)光學(xué)加密系統(tǒng)的圖像恢復(fù)

通常假定密碼分析者具備所使用的密碼系統(tǒng)的完全知識(shí)，這個(gè)假定稱作Kerchoffs條件假設(shè)，密碼系統(tǒng)的安全性必須要建立在此假設(shè)基礎(chǔ)上。在本文中，假定攻擊者有機(jī)會(huì)使用解密機(jī)，便可以知道加密系統(tǒng)的部分參量，如Z1，z2，λ，再通過(guò)特定的算法重構(gòu)原來(lái)的信息。假設(shè)攻擊者已經(jīng)知道了在菲涅耳域中由強(qiáng)度恢復(fù)輸入平面信息的算法。那么，通過(guò)接收到的密文g(x，y)，在不知道密鑰即兩個(gè)隨機(jī)相位板的情況下就可以重構(gòu)出原圖像d首先，利用逆菲涅耳衍射獲得變換平面強(qiáng)度，用CCD接收然后，使用該算法τ便可以提取自己需要的圖像信息，所以，菲涅耳域的對(duì)稱圖像雙隨機(jī)加密圖像的恢復(fù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋找算法τ的問(wèn)題。

3、基于菲涅耳域光強(qiáng)的對(duì)稱信號(hào)重構(gòu)算法

近期，HWANG和HAN提出了僅由菲涅耳域的光強(qiáng)重構(gòu)出對(duì)稱信號(hào)（振幅和相位）的算法。根據(jù)離散菲涅耳變換的相關(guān)性質(zhì)和復(fù)卷積性質(zhì)，由計(jì)算機(jī)控制，恢復(fù)信號(hào)。由于CCD攝取的圖像被離散化，而且滿足Nyquist取樣定理，因此可以定義離散菲涅耳變換其中式中，n代表樣本數(shù)，δxo和δxp是樣本間隔，m=-N/2，…，N/2 -1，N是整數(shù)。用R（k）表示(6)式的自相關(guān)，如果自相關(guān)的延遲k=N-1，根據(jù)下式可以得到，用R'（k）表示復(fù)卷積，如果復(fù)卷積中的k=-N+1:

根據(jù)HWANG和HAN的對(duì)稱信號(hào)重構(gòu)算法理淪，通過(guò)將具有不同延遲的無(wú)相位的因子進(jìn)行分類和排列，對(duì)比其系數(shù)，發(fā)現(xiàn)自相關(guān)和復(fù)卷積的這些因子具有遞歸性，可以重建f(x)的每一個(gè)離散值，在重構(gòu)過(guò)程中，用到了圖像的對(duì)稱性，算法遞歸的初值可以從(8)式和(9)式獲得，此遞歸進(jìn)行到k=N-(N/2+1)截止。這時(shí)，每一個(gè)具有不同延遲無(wú)相位的因子得到確切值。最后，將已知的兩個(gè)因子f*（- N/2）fO）和f* (O)f(-N/2 -1)相乘并運(yùn)用(8)式得到，f(0)的值可以獲得q按(8)式、(9)式進(jìn)行遞歸，可以得到所有的序列。因此，信號(hào)f(m）被恢復(fù)，m=-N/2，一N/2 +2，…，N/2—1。

二、數(shù)值模擬及討論

在菲涅耳加密系統(tǒng)中，δxp由入射光波波長(zhǎng)λ和傳輸距離z決定，已經(jīng)假定有機(jī)會(huì)使用解密機(jī)，便可以獲得δxp。圖2是利用MATLAB7.0仿真軟件采用基于快速傅里葉變換的角譜傳播算法計(jì)算的結(jié)果。此角譜算法是將輸入函數(shù)的傅里葉譜和傳遞函數(shù)的譜相乘，然后再做逆傅里葉變換4圖2a是一幅對(duì)稱臉譜圖像，經(jīng)過(guò)菲涅耳域的雙隨機(jī)相位加密后，得到加密圖像，見(jiàn)圖2b。利用上面所討論的算法，在沒(méi)有密鑰的情況下進(jìn)行解密，得到解密圖像，見(jiàn)圖2c。如圖2c所示，解密圖像的質(zhì)量不是很好，出現(xiàn)了較大的失真和噪聲，但圖像的基本特征還是可以辨清的，出現(xiàn)這種情況的原因可以追溯到攻擊的整個(gè)過(guò)程。由重構(gòu)算法可知，初值f*（- N/2)f(- N/2)，f*（- N/2）×f（N/2 -1）影響后面一系列因子的值，而初值是直接與譜強(qiáng)度有關(guān)的，用CCD探測(cè)的譜強(qiáng)度采用灰度圖記錄，灰度圖通常為量化整數(shù)。

因此，灰度圖記錄為量化的整數(shù)，與記錄的譜強(qiáng)度本身有一定的偏差，在進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬時(shí)，灰度圖的像素值發(fā)生一定的截?cái)?，?dǎo)致具有不同延遲無(wú)相位的因子與理想值的偏差，其結(jié)果就是圖像出現(xiàn)噪聲。假設(shè)對(duì)稱像素值發(fā)生偏差Ul，對(duì)稱關(guān)系應(yīng)該修正為，由于重構(gòu)像素值時(shí)采用f(0)為始態(tài)，討論偏差對(duì)f(0)的影響，將(12)式代入(11)式，可以得到對(duì)稱偏差值σ對(duì)重構(gòu)像素值以f(0)的影響，對(duì)于任意對(duì)稱圖像來(lái)說(shuō)，σ和f(N/2 -1)都是變量。

曲線表明：當(dāng)f（N/2 -1）越小時(shí)f(O)的偏差越大，且像素值對(duì)稱偏差對(duì)于f(0)的影響不是簡(jiǎn)單的線形疊加的關(guān)系，而是典型的乘性噪聲，這使圖像表現(xiàn)出來(lái)的噪聲更加復(fù)雜化d由于其它位置的像素值都是由f(O）作為始態(tài)遞歸而成，再加上其它對(duì)稱位置也可能存在像素值的偏差，因而每一個(gè)像素值都存在一個(gè)乘性噪聲。所以圖2c中原來(lái)像素值為255的位置也引入乘性噪聲。圖3b表明：不管對(duì)稱偏差σ是多少，只要f（N/2 -1）的值低于0.1×255 =25.5時(shí)，解密質(zhì)量會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的影響。采用Photoshop產(chǎn)生的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)稱圖像進(jìn)行仿真，其結(jié)果如圖4所示，其效果有明顯改善。一般采用信噪(DSNR)來(lái)比評(píng)價(jià)圖像改變前后的像質(zhì)差異程度，DSNR反映的是差異的相對(duì)程度，計(jì)算得到重構(gòu)圖像圖2c的信噪比為8.48dB，圖4c的信噪比為15. 36dB。

對(duì)非對(duì)稱圖像LENA加密后進(jìn)行重構(gòu)，如圖5所示，加密的圖像為圖5b，解密結(jié)果圖5c的信噪比為-20.7 3dB。結(jié)果表明，此算法只適合于對(duì)稱圖像。

由上述解密過(guò)程和結(jié)果，可以分析得到，在菲涅耳域采用雙隨相位加密算法對(duì)對(duì)稱圖像進(jìn)行加密時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)相位板實(shí)際上根本就不能作為密鑰，作為密鑰的只有z1，z2和λ了。所以，在分配密鑰時(shí)，關(guān)鍵要確保z1，z2和λ的安全，不被攻擊者截獲。

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