近年來，人們對(duì)魔方陣的探討，不再局限于趣味數(shù)學(xué)上的議題，不少學(xué)者紛紛將魔方陣的應(yīng)用融入信息安全之中。那么我們今天就來探討一下加密解密中變形魔方陣是如何應(yīng)用的？

一、魔方陣變形之分析

1、魔方陣的由來

根據(jù)文獻(xiàn)記載，最古老的魔方陣是一個(gè)三階魔方陣，出自中國古代的洛書，相傳大禹在黃河及洛水治理水患時(shí)，于洛河發(fā)現(xiàn)一只烏龜背上刻著奇特圖案，即一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的三階魔方陣。魔方陣又被稱為九宮算，是因?yàn)槿A魔方陣共有九個(gè)方格，又被稱為縱橫圖的原因可能是直行與橫列的和相等的緣故。在日本，魔方陣又稱為幻方。

2、魔方陣的定義

若一個(gè)方陣是由n橫列與n個(gè)直行所構(gòu)成，共有擴(kuò)個(gè)小方格，則稱這個(gè)方陣是一個(gè)n階方陣；若每一列，每一行及每一個(gè)對(duì)角線數(shù)字相加的總合相等，則稱為正規(guī)魔方陣（Normal MagicSquare），或是標(biāo)準(zhǔn)魔方陣(Standard Magic Square)。檢驗(yàn)一個(gè)魔方陣是否為一個(gè)正規(guī)型態(tài)，可判定任一列、一行或是對(duì)角線之和是否為(n的三次方+n)/2，其中n為魔方陣的階數(shù)。

例如：以3階魔方陣為例，其每一列之和為15。

3、魔方陣的變形

常見的魔方陣變形有幾種：剛性變形法、加值變形法、互補(bǔ)變形法、井字對(duì)換變形法、田字變形法、拓樸變形法及、旋轉(zhuǎn)變形法等多種方法嘲o對(duì)于奇數(shù)或是偶數(shù)的魔方陣變形，又有不同的方法；本文以合成法舉例說明9*9階及12*12階魔方陣之構(gòu)造方法。

（1）奇數(shù)九階魔方陣合成法

九階魔方陣可以分解成數(shù)個(gè)三階魔方陣。一個(gè)階數(shù)為n之魔方陣，當(dāng)n≥3時(shí)，若n為兩個(gè)整數(shù)p，q之乘積時(shí)，則這個(gè)魔方陣可由p階及g階魔方陣合成。例如九階魔方陣可以分解成三階魔方陣。

3*3型態(tài)合成法

步驟1：將9*9的矩陣平均切割成三等份，總共分成9大區(qū)塊。這里稱之為井字型切割法。

步驟2：將9大區(qū)塊分別按照3*3魔方陣的區(qū)塊位置標(biāo)上l到9的順序編號(hào)。

步驟3：9*9共有81個(gè)小方格，第一區(qū)塊依順序?qū)?-9數(shù)字對(duì)應(yīng)3*3魔方陣的相對(duì)位置，填入小方格內(nèi)。

步驟4：反復(fù)步驟3的工作，直到81個(gè)小方格全部填滿數(shù)字。

步驟5：檢查各行各列及對(duì)角線的數(shù)字總和是否相等，若相等就結(jié)束工作；不相等則跳至步驟3重新開始。

（2）偶數(shù)十二階魔方陣合成法

幾階為12的魔方陣可以分解成n=4*3或是n=3*4兩種型態(tài)，即每一個(gè)基本方塊可以切割成三等份或是四等份。如圖4及圖5所示。

4*3型態(tài)合成法

步驟1：將12*12的矩陣平均切割成四等份，總共分成16大區(qū)塊。

步驟2：將16大區(qū)塊分別按照4*4魔方陣的區(qū)塊位置標(biāo)上1到16的順序編號(hào)。

步驟3：12*12共有144個(gè)小方格，第一區(qū)塊依順序?qū)?-16數(shù)字對(duì)應(yīng)4*4魔方陣的相對(duì)位置，填入小方格內(nèi)。

步驟4：反復(fù)步驟3的工作，直到144個(gè)小方格全部填滿數(shù)字。

步驟5：檢查各行各列及對(duì)角線的數(shù)字總和是否相等，若相等就結(jié)束工作；不相等則跳至步驟3重新開始。

3*4型態(tài)合成法

步驟1：將12*12的矩陣平均切割成三等份，總共分成9大區(qū)塊。還是用井字型切割法。

步驟2：將9大區(qū)塊分別按照3*3魔方陣的區(qū)塊位置標(biāo)上1到9的順序編號(hào)。

步驟3：12*12共有144個(gè)小方格，第一區(qū)塊依順序?qū)?-9數(shù)字對(duì)應(yīng)3*3魔方陣的相對(duì)位置，填入小方格內(nèi)。

步驟4：反復(fù)步驟3的工作，直到144個(gè)小方格全部填滿數(shù)字。

步驟5：檢查各行各列及對(duì)角線的數(shù)字總和是否相等，若相等就結(jié)束工作；不相等則跳至步驟3重新開始。

（3）合成法注意事項(xiàng)

已知最小魔方陣為一個(gè)三階魔方陣，因此若用合成法或是切割法來構(gòu)造一個(gè)9階以上的魔方陣，最小的要求是三階。為什么不用二階？因?yàn)槎A魔方陣不存在。

假設(shè)：設(shè)有一個(gè)二階魔方陣，如圖6所示，其中a，b，c，d依序?yàn)椴幌嗤恼麛?shù)。

證明：假設(shè)圖6為一個(gè)二階魔方陣，所以a+b=b+d=a+c=b+d=a+d=b+c。

得a=b=c=d，然魔方陣之假設(shè)為a≠b≠c≠d之條件，故圖6與假設(shè)矛盾。

所以二階魔方陣不存在。

證畢。

二、加密解密原理及其認(rèn)證機(jī)制

1、魔方陣的特性一“大于1法則”

三階魔方陣特性：以3*3為例，兩個(gè)對(duì)角的和分別是(8+2)=10，(6+4)=10；因3*3=9，而10比9大1。

四階魔方陣特性：以4*4為例，兩個(gè)對(duì)角的和分別是(16+1)=17，(13+4)=17；因4*4=16，而17比16大1。

五階魔方陣特性：以5*5為例，兩個(gè)對(duì)角的和分別是(17+9)=26，因(15+11)=26，而26比25大1。

六階魔方陣特性：以6*6為例，兩個(gè)對(duì)角的和分別是(6+31)=37，(1+36)=37；因6*6，而37比36大1。

七階魔方陣特性：以7*7為例，兩個(gè)對(duì)角的和分別是(30+20)=50，(28+22)-50;因7*7，而50比49大1。

八階魔方陣特性：以8*8為例，兩個(gè)對(duì)角的和分別是(64+1)=65，(57+8)=64；因8*8=64，而65比64大1。

2、用魔方陣的特性當(dāng)驗(yàn)證機(jī)制

當(dāng)傳送者( Sender)將明文(plaintext)加密之后，他最少要傳密文(ciphertext)及密鑰(key)這兩樣信息給接收者( Receiver)，接收者根據(jù)密鑰（或密碼）將密文解密成明文。這是最基本的情況。如果加密密鑰與解密密鑰是一樣的，屬于對(duì)稱式密碼系統(tǒng)；如果不一樣，則是非對(duì)稱式密碼系統(tǒng)。如果要讓接收者對(duì)傳送者進(jìn)行身份的認(rèn)證及鑒別，傳送者至少還要提供明文、密鑰及密文等三種信息給對(duì)方，接收者可以把密文解密后，與原來的明文比對(duì)看看是否一致。

如果傳送者在一般的網(wǎng)絡(luò)上傳送密文給接收者，另外在安全信道(Secure Channel)或是虛擬網(wǎng)（Virtual Private Network，VPN）上傳送種子(seed)給接收者，這個(gè)種子就是魔方陣階的大小及四個(gè)角落的值，當(dāng)接收者收到傳送者所傳送的密文及種子時(shí)，接收者可以自行產(chǎn)生一個(gè)魔方陣；此時(shí)，產(chǎn)生的這個(gè)魔方陣就是一個(gè)加密矩陣，利用這個(gè)矩陣把密文進(jìn)行解密，就會(huì)得到明文。

例如：傳送者經(jīng)由安全信道傳送種子為(7，30，28,22，20)及密文給接收者時(shí)，接收者收到后，接收者知道要產(chǎn)生7*7的魔方陣，且四個(gè)角落值一定是(30，28，22，20)，若不是，接收者就無法正確的將密文解密成明文。

3、安全性分析

一個(gè)3*3魔方陣只有1種，4*4魔方陣有880種，5*5魔方陣有275305224種，6*6魔方陣約1.775399- 109種組合，而10*10則約有2.4149·10110種組合。這樣排列與組合的證明已經(jīng)有專家及學(xué)者證明出來了。

開放性問題：我們現(xiàn)在有下列開放性問題需要探討及研究。

1．大于一的法則，顯然只是對(duì)大多數(shù)的魔方陣適用，到底有多少個(gè)例外的魔方陣不適用于此法則，目前沒有論述。

2．如何快速產(chǎn)生一個(gè)奇數(shù)的魔方陣，已有文獻(xiàn)探討，而快速地產(chǎn)生偶數(shù)的魔方陣，現(xiàn)有文獻(xiàn)甚少提及。

3．魔方陣是否有更廣泛的應(yīng)用，應(yīng)用在哪里，仍是一個(gè)尚待研究的議題。

將魔方陣應(yīng)用于加密解密，為分組密碼提供一個(gè)新的研究思維。另一方面，現(xiàn)在密碼體制中，傳送者仍然免不了需要將明文密文對(duì)提供給接收者，以利接收者對(duì)傳送者身份的識(shí)別。本文的方法，傳送者無需傳送明文，大大地節(jié)省傳輸過程所消耗的資源，也避免攻擊者利用明文攻擊。傳送者只需傳送微量的信息（例如種子參數(shù)）給接收者，接收者可自行產(chǎn)生解密矩陣，在傳輸過程并沒有密鑰，因此密鑰不會(huì)有泄漏的疑慮。

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