雙隨機相位加密技術(shù)之離散四元數(shù)傅里葉變換
admin 應(yīng)用光學(xué)圖像加密的思想，我們將離散四元數(shù)傅里葉變換( DQFT)與雙隨機相位加密技術(shù)相結(jié)合，提出了一種應(yīng)用于彩色圖像的雙隨機相位加密新技術(shù)。基于DQFTf的雙隨機相位加密技術(shù)可將彩色圖像作為一個整體進行加密，從而在保持了系統(tǒng)的保密性能的同時，有效地降低了復(fù)雜性。
一、彩色圖像的DQFI
彩色圖像由三個獨立分量組成，如在RGB空間，由R，G，B三個分量組成，在HIS空間由H，I，S三個分量組成等等，下面以RGB空間為例進行討論。對于一個大小為(Xx Y)的彩色圖像I(x，y)，x和y分別表示像素所在矩陣的行和列的位置，x∈[0，X-I]，y∈[O，Y-1]，令四元數(shù)的3個虛部分量分別代表紅（R）、綠(G)、藍(B)3個基色分量，實部為0，則彩色圖像I(x，y)可表示為：
而對于任何一個四元數(shù)f= fr+fi+fi+fkk，都可以用模和相位的形式表示為f=lfI ey'，由此可見，一幅彩色圖像可以表示為一個四元數(shù)矩陣，并與普通復(fù)數(shù)一樣，具有模和相位．
對于彩色圖像，fr（x，y）=O，f(x，y)的離散傅里葉變換可定義為：
μ是一個單位純四元數(shù)，即μ的實部為O，模為1，且μ2=一1，由上面的公式可看出，選取不同的μ，所得結(jié)果也就不同。
這里我們把f(x，y)稱為空間域，F(xiàn)（u，v）稱為頻率域，所以F(u，v)可看作是彩色圖像的頻譜，F(xiàn)（u，v）也是一四元數(shù)。
二、基于DQ丌的雙隨機相位加密技術(shù)
對于一幅待加密的彩色圖像，我們可以按照(2)式先將其表示成四元數(shù)矩陣的形式，并記為f(x，y)，設(shè)n（x，y），b（u，v）分別代表兩個獨立的在[O，1]上均勻分布的隨機矩陣，加密過程可以分為以下四步：
1)將待加密彩色圖像f(x，y)乘以一隨機相位掩模函數(shù)eμA2πn(xy)后得g（x，y）：
2)將g（x，y）用參數(shù)μ1作DQlrl'變換，得到頻譜，記為G（u，v）。
3)將G（u，v）乘以另一隨機相位掩模函數(shù)eμb2πb(uv)，得將H（u，v）：
4)將H（u，v）用參數(shù)μ2作DQFT逆變換，得h（x，y），h（x，y)即為加密后的圖像，加密過程的數(shù)學(xué)表達式如下：
其中，參數(shù)μ1，μ2，μa，μB均為單位純四元數(shù)，n(x，y)，b（u，v），μ1，μ2，μa，μB作為解密的密鑰。
解密過程是加密過程的逆過程。
三、雙隨機相位加密技術(shù)分析
本加密系統(tǒng)中所需的隨機相位掩模數(shù)量為2，攻擊者在不知道這兩個隨機相位掩模的信息時，無法破解此系統(tǒng)，本方法在保證安全性的基礎(chǔ)上，減少了密鑰的數(shù)量。具體分析如下：在密鑰存儲問題上，如果是用計算機實現(xiàn)，則密鑰占據(jù)存儲介質(zhì)的空間大小是主要因素，本文方法中，密鑰/μ1，μ2，μa，μB對圖像加密的作用要遠遠小于隨機相位掩模n(x，y)和b（u，v），而且其復(fù)雜度與占用空間也遠小于隨機相位掩模，可以忽略，所以這里主要討論隨機相位掩模的數(shù)量。現(xiàn)有的對彩色圖像進行雙隨機相位加密的方法中，通常需要的隨機相位掩模數(shù)量至少為6個，即每個通道在空間域和變換域各需要一個隨機相位掩模，也有方法將緊貼彩色圖像三通道的3個空間域的隨機相位掩模合而為一，即一共至少需要4個隨機相位掩模。
為分析方便，我們在此定義一個系統(tǒng)的必要隨機相位掩模數(shù)量的概念，所謂必要隨機相位掩模數(shù)量是指一個隨機相位加密系統(tǒng)在攻擊者不知道密鑰的情況下無法破解所需要的最少的隨機相位掩模數(shù)量，按照這個定義，針對灰度圖像的單通道雙隨機相位加密系統(tǒng)的必要隨機相位掩模數(shù)量為2，而由于把彩色圖像分為三個通道進行處理，其必要隨機相位掩模數(shù)量分別是4和6，當(dāng)用少于必要隨機相位掩模數(shù)量的隨機相位進行加密，或因為泄漏等原因使得攻擊者未知的隨機相位掩模數(shù)量小于必要隨機相位掩模數(shù)量時，攻擊者可以恢復(fù)部分原始圖像，甚至可能獲得關(guān)于原始圖像的重要信息，從而導(dǎo)致泄密。從這個意義上說，本方法所需要的隨機相位掩模數(shù)量減少為2個，在保證安全性的基礎(chǔ)上減少了密鑰的數(shù)量，有利于密鑰的保存與發(fā)布。
四、雙隨機相位加密技術(shù)實驗結(jié)果
我們選取了50幅不同內(nèi)容、不同格式的彩色圖像進行了多次實驗，結(jié)果表明，與選取圖像的特點無關(guān)，使用正確的密鑰均可準確地恢復(fù)原始圖像，而用隨機的密鑰無法恢復(fù)原始圖像。
用正確的密鑰可以準確恢復(fù)原始圖像，而用隨機的密鑰無法恢復(fù)原始圖像。
魯棒性測試：高斯噪聲和椒鹽噪聲是傳輸過程中經(jīng)常會遇到的干擾，為了測試本方法對這兩種噪聲的魯棒性，我們對選取的50幅圖像進行了多次實驗，對加密后的不同圖像分別加入不同系數(shù)的高斯噪聲及椒鹽噪聲，觀察還原后所得圖像的峰值信噪比(PSNR)。表1中列出了lena，peppers，airplane，mandrill四幅圖像經(jīng)加噪還原后所得圖像的PSNR，其中，高斯噪聲的平均值為O，方差為加人系數(shù)；椒鹽噪聲的系數(shù)表示噪聲密度。
小知識之四元數(shù)
四元數(shù)是最簡單的超復(fù)數(shù)。 復(fù)數(shù)是由實數(shù)加上元素 i 組成，其中i^2 = -1。 相似地，四元數(shù)都是由實數(shù)加上三個元素 i、j、k 組成，而且它們有如下的關(guān)系： i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 , 每個四元數(shù)都是 1、i、j 和 k 的線性組合，即是四元數(shù)一般可表示為a + bi + cj + dk，其中a、b、c 、d是實數(shù)。
