為提升圖像的置亂效果和置亂性能，提出了一種基于Arnold變換的雙置亂圖像加密算法。

一、Arnold變換

1、Arnold像素位置變換

Arnold變換矩陣為：

二維Arnold位置變換表達(dá)式為：

式中，x，y，x’y’∈{1，2，…，N-1}，N為圖像矩陣階數(shù)，x，y)為原始圖像像素位置，x’，y’）為置亂后圖像像素位置，在數(shù)字圖像中，Arnold變換是將原來點(diǎn)(x,y)處像素值移動到變換之后的(x’，y’)點(diǎn)位置，通過變換圖像會由清晰變模糊，當(dāng)遍歷了原始圖像的所有點(diǎn)后，便產(chǎn)生了一幅相對原始圖像混亂的新圖。

對圖像進(jìn)行一次Arnold變換，相當(dāng)于對該圖進(jìn)行一次置亂，通常這個變換過程需要反復(fù)進(jìn)行多次才能達(dá)到滿意效果，則對圖像做n次Arnold位置變換的表達(dá)式為：

利用Arnold變換對原始圖像置亂，使其變成像白噪聲一樣的毫無意義圖像，實(shí)現(xiàn)了圖像信息的隱藏，置亂次數(shù)可以做為密鑰，從而增強(qiáng)了系統(tǒng)的保密性與安全性。

2、Arnold像素值變換

用辦表示任意像素值十六進(jìn)制形式，對其進(jìn)行一次變換的表達(dá)式為：

式中，h=(h1，h2，)H，h’=(hi’，h2’)H是像素值h置亂后得至0的值，hl，h2，hi’，h2’∈（1，2，…，n）。

同樣，為了達(dá)到滿意的置亂效果，也需要迭代多次Arnold像素值變換，則對像素值h進(jìn)行n次變換的表達(dá)式為：

3、Arnold逆變換

通常，求解Arnold反變換是通過計(jì)算其周期，表1給出了不同階數(shù)N下數(shù)字圖像的Arnold變換周期TN。

現(xiàn)有研究表明：若對一幅進(jìn)行過n次Arnold變換的Ⅳ×Ⅳ數(shù)字圖像(n>1)進(jìn)行恢復(fù)，需要對其繼續(xù)進(jìn)行(TN-n mod TN)次Arnold變換即可得到原圖像，這種恢復(fù)圖像的方法要先檢測圖像大小和置亂周期，在處理較大圖像時會花費(fèi)較長時間，而在實(shí)際中應(yīng)盡量減少其時間和空間復(fù)雜度。給出并證明了一種改進(jìn)的Arnold反變換，無須計(jì)算圖像周期，在置亂狀態(tài)下迭代相J司步數(shù)即可恢復(fù)原圖，節(jié)省了開銷，稱其為Arnold逆變換，即：

式(2)與式(6)有相同的周期．當(dāng)一幅原圖經(jīng)過n步Amold變換得到置亂圖像時，可以對置亂圖像進(jìn)行n步Arnold逆變換后恢復(fù)出原圖，從而不必計(jì)算圖像大小和變換周期，在本文算法中對密文圖像解密時采用的就是Arnold逆變換。

二、雙置亂加密算法

1、圖像分塊算法

圖像置亂是為了降低圖像鄰域像素相關(guān)性，使圖像的像素由最大確定性變?yōu)椴淮_定性。為達(dá)到理想的置亂效果，可以采用的圖像均勻分塊算法，對于一幅原始圖像，假設(shè)將其分成nxn個圖像塊，每塊中有mxm個像素點(diǎn)，則置亂后的圖像應(yīng)分成mxm個圖像塊，其中每塊中含有nxn個像素點(diǎn)，并且將原始圖像每個圖像塊的mxm個像素點(diǎn)均勻分到置亂后圖像的mxm個圖像塊中，保證每塊圖像中各含一個像素點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)均勻置亂。

2、加密解密過程

Arnold雙置亂圖像加密過程見圖1。

先采用均勻分塊算法對原始圖像進(jìn)行分塊操作，然后分別對置亂后的每個圖像塊按式(3)做Arnold位置置亂，最后再按式(5)對合并后的圖像做像素值置亂，從而得到雜亂無章的加密圖像。

圖像解密過程是圖像加密的逆過程，首先，利用已知密鑰（變換次數(shù)）對加密圖像做Arnold逆變換，對圖像像素值置亂進(jìn)行恢復(fù)，然后執(zhí)行圖像分塊算法，最后對圖像塊做Arnold逆變換恢復(fù)圖像像素位置，從而還原出原始圖像。

三、加密算法性能分析

下面通過實(shí)驗(yàn)對本文算法的性能進(jìn)行驗(yàn)證。

1、加密效果

從圖2可以看出，傳統(tǒng)Amold置亂算法是對圖像整體進(jìn)行位置置亂，需要置亂多次才能達(dá)到理想的加密效果(見圖2(b))，而且當(dāng)?shù)揭欢ú綌?shù)時會恢復(fù)原圖，加密系統(tǒng)安全性較低；而采用本文的雙置亂加密算法時只要在較少的置亂次數(shù)下就能夠達(dá)到理想的加密效果，而且采用雙密鑰決定置亂次數(shù)也提高了加密系統(tǒng)的安全性。

2、鄰域像素相關(guān)性

通常一幅圖像的相鄰像素之間具有很大相關(guān)性，統(tǒng)計(jì)攻擊方法常利用該性質(zhì)來分析圖像加密算法。置亂后圖像相關(guān)性越小說明圖像加密效果越好，用相關(guān)系數(shù)來衡量加密算法對鄰域像素相關(guān)性的破壞能力。本文對圖2 (a)圖像進(jìn)行測試，分別隨機(jī)選取1 000對相鄰像素點(diǎn)（水平方向、垂直方向、對角方向），記為(xi，Yi) (i=l，2，3，…，N)，利用式(7)計(jì)算相關(guān)系數(shù)，

式中：

和D(x)分別是xi的離散化均值和方差。

圖像加密前后鄰域像素相關(guān)系數(shù)見表2。從表2可以看出，原始圖像在水平、垂直和對角3個方向的像素相關(guān)性都非常高，而加密圖像的相關(guān)性非常?。ń咏?），故本文算法具有很強(qiáng)的抗統(tǒng)計(jì)分析攻擊能力。

3、抗剪切性能

利用Adobe photoshop軟件對已加密圖像圖2（d)進(jìn)行裁剪，裁剪方案見圖3(a)，然后對裁剪后的加密圖像進(jìn)行恢復(fù)，恢復(fù)效果見圖3 (b)。

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果得知，對裁剪圖像進(jìn)行恢復(fù)后會存在一定程度失真，但還是會很容易辨認(rèn)出圖像所表達(dá)的信息．本文算法由于采用了均勻分塊和圖像塊置亂思想，使得每塊圖像中的像素都能夠均勻分布到其他各個圖像塊中，削弱了圖像鄰域像素相關(guān)性，從而能夠有效地抵抗局部隨機(jī)裁剪攻擊。

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