衰落信道該如何加密
admin 現(xiàn)有的密鑰加密方法無(wú)法保證密鑰分發(fā)的安全性。針對(duì)上述問(wèn)題，提出了一種基于信道相位響應(yīng)獨(dú)立性的衰落信道加密方法。
一、信道模型及問(wèn)題描述
考察包含乘性噪聲與加性噪聲的SISO系統(tǒng)信道模型如圖1所示。Alice為發(fā)送者，Bob為合法接收者，Eve為竊聽(tīng)者。為了保證Bob的接收質(zhì)量，采取的策略為Bob向Alice發(fā)送反向?qū)ьl，Alice通過(guò)反向?qū)ьl估計(jì)得到合法用戶(hù)信道的信道狀態(tài)信息，再通過(guò)對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理使Bob免受乘性噪聲的干擾。Alice與Bob之間的信道稱(chēng)為主信道，主信道為高斯加性白噪聲信道，信道沖激響應(yīng)為Alice與Eve之間的信道稱(chēng)為竊聽(tīng)信道，信道沖激響應(yīng)為g。
加密前的信息為SN，Alice對(duì)SN加密并發(fā)送的信號(hào)為XN，Bob與Eve接收到的信號(hào)分別為YN和ZN。將乘性噪聲相對(duì)穩(wěn)定的一段時(shí)間稱(chēng)為一個(gè)時(shí)隙，竊聽(tīng)信道的輸入與輸出關(guān)系為：
其ZN =(Z1,Z2，…，ZN)H、XN=(Xl,X2，…，XN)H（W1，W2，…，WN）H與N=1，2，…均為隨機(jī)變量，WN是竊聽(tīng)信道上的加性噪聲，N為一個(gè)時(shí)隙內(nèi)發(fā)送的符號(hào)長(zhǎng)度。
安全通信需要解決的問(wèn)題包括可靠性和安全性?xún)蓚€(gè)方面，即要在保證合法用戶(hù)Alice與Bob之間通信的同時(shí)，不將保密信息泄露給竊聽(tīng)者Eve。這兩方面用信道疑義度可以表示為：
其中：H(．|．)為條件熵運(yùn)算；SNB與SEB分別為Bob和Eve對(duì)發(fā)送信息SN的估計(jì)值。對(duì)于任意正數(shù)ε，若存在一種編碼方式xn=f( sn,h)，當(dāng)N→∞時(shí)使式(2)成立，則稱(chēng)R為密鑰速率，R的最大值就稱(chēng)做密鑰容量。根據(jù)Fano不等式，可以得到Eve誤碼率與密鑰速率之間滿(mǎn)足關(guān)系：
二、密鑰容量及相位獨(dú)立性加密方法
1、密鑰容量
本節(jié)主要是推導(dǎo)包含乘性噪聲與加性噪聲的SISO系統(tǒng)的各態(tài)歷經(jīng)的保密容量。由于信道為塊衰落信道，所以在一個(gè)時(shí)隙內(nèi)g是恒定的，即相位旋轉(zhuǎn)和幅度改變均為常數(shù)，而每一個(gè)信號(hào)采樣的加性噪聲是不同的。
引入中間變量RN，使其滿(mǎn)足：
其中：φg=angle(g)，又因?yàn)椋?/p>
聯(lián)立式(4)與(5)可得：
將式(6)代入式(1)得到：
同時(shí)，可以將竊聽(tīng)信道化為兩個(gè)信道的級(jí)聯(lián)，如圖2所示。
由于一個(gè)時(shí)隙內(nèi)φg是一個(gè)常數(shù)，所以RN與XN存在一一映射的關(guān)系：
信道2輸入的熵為：
其中：M為符號(hào)集中元素的個(gè)數(shù)。
接收者對(duì)發(fā)送信息的疑義度為：
當(dāng)angle（XN）在[0，2π）上均勻分布時(shí)，RN與φg獨(dú)立（證明見(jiàn)附錄1），這個(gè)假設(shè)通常能夠滿(mǎn)足，此時(shí)有，I(RN；φg|ZN)=0，代入式(10)得:
系統(tǒng)互信息為：
將Bob與Eve的信道狀態(tài)代入式(12)可得信道的安全容量為：
只要XN的分布可以達(dá)到AWGN信道容量，那么信道2就可以達(dá)到信道容量。。由于要盡可能提高合法用戶(hù)的通信質(zhì)量，假定不在主信道方向上制造人工噪聲，而在竊聽(tīng)信道方向上制造人工噪聲，就有：
證明見(jiàn)附錄2。同時(shí)，主信道和竊聽(tīng)信道上的相位模糊滿(mǎn)足：
當(dāng)Bob完全確知妒φB時(shí)，式(15)中的等號(hào)成立；當(dāng)φE與zBN獨(dú)立時(shí)，式(16)中的等號(hào)成立。聯(lián)立式(13)~(16)可得安全容量上界：
其中：CB2是只考慮信道噪聲和增益的信道容量，CE2是同時(shí)考慮信道噪聲和人工噪聲以及信道增益的信道容量。
由于信道是時(shí)變的，再加上人為地在竊聽(tīng)信道上制造衰落，所以CE2是隨機(jī)變量。對(duì)式(12)取平均可以得到各態(tài)歷經(jīng)的安全容量為：
2、離散PSK信源安全速率
假定使用的調(diào)制方式為PSK，調(diào)制階數(shù)為M，假設(shè)經(jīng)過(guò)信源編碼后的符號(hào)均勻分布，為了保證Bob的正常通信，M應(yīng)滿(mǎn)足：
即M的取值有一定限制。同時(shí)，Eve的相位模糊度滿(mǎn)足：
聯(lián)立式(17)~(20)得到安全容量為：
所以，在每個(gè)符號(hào)都存在相位模糊的情況下，能夠?qū)崿F(xiàn)完美保密。同時(shí)，為了保證Bob的正常通信，需根據(jù)式(19)選擇合適的調(diào)制階數(shù)。
3、利用相位差異連續(xù)性對(duì)離散PSK信源加密
對(duì)于M進(jìn)制的信源，有M種映射關(guān)系，設(shè)為f1，f2，…以第i個(gè)符號(hào)的映射關(guān)系為gi，可能的取值有M個(gè)。一個(gè)時(shí)隙Ⅳ個(gè)符號(hào)的映射關(guān)系的聯(lián)合熵為：
如果不對(duì)相位進(jìn)行處理，則式(22)中除了第一項(xiàng)取值為log2M之外，其他項(xiàng)取值均為零，能夠?qū)崿F(xiàn)的保密容量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于式(18)中的結(jié)果。
設(shè)計(jì)這樣一種傳輸方案：首先，Bob廣播導(dǎo)頻信號(hào)，Alice根據(jù)接收到的導(dǎo)頻估計(jì)出主信道的相位響應(yīng)φB，接著Alice廣播一個(gè)相位為φ0的信號(hào)，由φB和φ0，Alice可以估計(jì)出Bob接收到的信號(hào)相位為φ1= φB+φo，而由于主信道與竊聽(tīng)信道的獨(dú)立性，Eve接收到的信號(hào)相位φE與φB無(wú)關(guān)，且有φ2=φ1-φB+φPE，令:
即對(duì)于同一頻率的信號(hào)，主信道與竊聽(tīng)信道的相位響應(yīng)相差Δφ。
以BPSK信號(hào)為例，對(duì)坐標(biāo)系不同區(qū)域的定義如圖3(a)所示，信號(hào)發(fā)送到區(qū)域4判為+1，發(fā)送到區(qū)域B判為-1?？紤]兩個(gè)坐標(biāo)系，一個(gè)是Bob的原生坐標(biāo)，另一個(gè)是參考坐標(biāo)系，也就是9i。在發(fā)送每個(gè)符號(hào)時(shí)可能會(huì)發(fā)生變化，而Alice與Bob依據(jù)參考坐標(biāo)系進(jìn)行符號(hào)的發(fā)送與判決。
發(fā)送第一個(gè)符號(hào)時(shí)，參考坐標(biāo)系的區(qū)域A與原生坐標(biāo)系中φ1所在的區(qū)域重合，由于Eve不知道φ1所在區(qū)域，所以無(wú)法判斷出發(fā)送的符號(hào)；發(fā)送第二個(gè)符號(hào)時(shí)，參考坐標(biāo)系的區(qū)域A與原生坐標(biāo)系中φ1所在區(qū)域重合，同樣由于Eve不知道2φ所在的象限，無(wú)法判斷出發(fā)送的符號(hào)。以此類(lèi)推，在發(fā)送第i個(gè)符號(hào)時(shí)發(fā)送第二個(gè)符號(hào)時(shí)，參考坐標(biāo)系的區(qū)域4與原生坐標(biāo)系中劫，所在的區(qū)域重合，而Eve無(wú)法解出信號(hào)。如圖3(b)所示，φ位于區(qū)域A，則Alice和Bob在對(duì)第一個(gè)符號(hào)進(jìn)行發(fā)送和判決時(shí)，都將原生坐標(biāo)系的區(qū)域A、同時(shí)也是參考坐標(biāo)系的區(qū)域A的信號(hào)當(dāng)做+1，區(qū)域的信號(hào)當(dāng)做-1；在發(fā)送第二個(gè)符號(hào)時(shí)，2φ仍位于區(qū)域A，則Alice和Bob在對(duì)第一個(gè)符號(hào)進(jìn)行發(fā)送和判決時(shí)，仍將原生坐標(biāo)系的區(qū)域A作為參考坐標(biāo)系的區(qū)域4，并將其中的信號(hào)當(dāng)做+1，區(qū)域B的信號(hào)當(dāng)做-1。
以BPSK信號(hào)為例，假定φ1在[O，2π）上均勻分布，當(dāng)Eve對(duì)φ1沒(méi)有假設(shè)時(shí)，gi到gi+1區(qū)域A在Bob原生坐標(biāo)中的轉(zhuǎn)移概率如圖4所示。其中，ε=1/2，可以得到：
所以gi+i與gi獨(dú)立，式(22)可以取到最大值。
小知識(shí)之BPSK
BPSK (Binary Phase Shift Keying)，把模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換成數(shù)據(jù)值的轉(zhuǎn)換方式之一，利用偏離相位的復(fù)數(shù)波浪組合來(lái)表現(xiàn)信息鍵控移相方式。BPSK使用了基準(zhǔn)的正弦波和相位反轉(zhuǎn)的波浪，使一方為0，另一方為1，從而可以同時(shí)傳送接受2值(1比特)的信息。
