針對(duì)數(shù)字圖像如何更好地在網(wǎng)絡(luò)中進(jìn)行安全傳輸?shù)膯?wèn)題，需要研究一種高質(zhì)量的加密和解密算法，使得加密圖像以不可見(jiàn)隱藏方式嵌入疊加到非加密圖像中，并且使得提取后的加密圖像與原圖像具有較好的一致性，為此，我們提出了一種基于Weyl定理的數(shù)字圖像保密傳輸方法。

一、圖像加密分析

圖像是由像素組成的，圖像的每一個(gè)像素都有自己的顏色、亮度和飽和度，對(duì)于一幅圖像來(lái)說(shuō)，可以根據(jù)其每一個(gè)像素的不同屬性來(lái)描述它，從而把顏色信息量化為數(shù)值信息。對(duì)于真彩色圖像，用記錄紅、綠、藍(lán)三原色的三個(gè)矩陣描述。

加密圖像隱藏的過(guò)程就是對(duì)非加密圖像矩陣疊加加密圖像信息的過(guò)程；而提取加密圖像的過(guò)程，就是要從疊加有加密圖像信息的矩陣中，分離出加密圖像信息的過(guò)程，這里的關(guān)鍵問(wèn)題在于信息的疊加。對(duì)于一幅圖像通常用圖像矩陣的范數(shù)來(lái)衡量圖像的能量，根據(jù)矩陣范數(shù)的平方等于矩陣的所有奇異值的平方和可以知道圖像的主要能量集中在數(shù)值較大的奇異值上。但在實(shí)際的應(yīng)用中，圖像總是帶有一定的噪聲的，也就是說(shuō)待分解的圖像矩陣一般都是被擾動(dòng)的，因此要想建立穩(wěn)定性好的模型算法就必須知道噪聲對(duì)矩陣奇異值的影響。

Weyl定理：設(shè)A為一個(gè)大小為m×n的矩陣（m≥n），B=A+a，a是矩陣A的一個(gè)擾動(dòng)，假設(shè)矩陣A、B的奇異值分別為σ1、σ2…σr(1)和σ1、σ2…σr(2)；σ*是矩陣B的最大奇異值。

由Weyl定理可知，當(dāng)圖像被施加小的擾動(dòng)時(shí)圖像矩陣的奇異值的變化不會(huì)超過(guò)擾動(dòng)矩陣的最大奇異值，因此基于矩陣奇異值分解的圖像隱藏算法具有很好的穩(wěn)定性，能夠有效地抵御噪聲對(duì)加密圖像信息的干擾。

下面即是根據(jù)矩陣奇異值的這種抗干擾能力，利用基于矩陣奇異分解的圖像隱藏算法可以得到較好的合成圖像的處理方法，并且提取后的加密圖像與原圖像具有較好的一致性。相反，提取圖像時(shí)用加密圖像嵌入時(shí)的逆過(guò)程就可以提取出加密圖像矩陣信息。

二、圖像加密模型的建立與求解

1、模型假設(shè)

1)假設(shè)圖像在傳輸過(guò)程中圖像信息不出現(xiàn)誤碼；

2)假設(shè)圖像的微弱變化不影響圖像的使用；

3)假設(shè)非加密圖像可以在不失真的情況下被放大縮小。

2、符號(hào)說(shuō)明

AK為圖像①對(duì)應(yīng)的矩陣；AK為圖像②對(duì)應(yīng)的矩陣AK'為合成圖像對(duì)應(yīng)的矩陣；w*為提取出的加密圖像所對(duì)應(yīng)的矩陣；Ak為A的某一個(gè)大小為m×娩的子塊矩陣；S為Ak的奇異值矩陣；SK為嵌人加密圖像AK后的新奇異值矩陣；σ1（I）為矩陣Ak的第亡個(gè)奇異值；Ak為受到干擾的圖像矩陣；a為嵌入強(qiáng)度因子。

3、模型的建立與求解

（1）加密圖像的嵌入

對(duì)于一幅圖像來(lái)說(shuō)，可以根據(jù)其每一個(gè)像素的不同屬性來(lái)描述它，從而把顏色信息量化為數(shù)值信息。對(duì)于真彩色圖像，用記錄紅、綠、藍(lán)三原色的三個(gè)矩陣來(lái)描述。文中研究的圖像都是真彩色的圖像，所以其圖像矩陣是三維矩陣，可以將一個(gè)三維矩陣分解為三個(gè)二維矩陣，這樣我們就能充分利用圖像信息進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，嵌人流程如圖1所示。

非加密圖像②對(duì)應(yīng)的圖像矩陣A為MXN，需要嵌入的加密圖像①對(duì)應(yīng)的圖像矩陣W大小為m×n，A是是A某一個(gè)大小為m×n的子塊，顯然有M≥m；N>n。

文中研究的兩幅圖像并不是這種理想情況，所以在圖像嵌入時(shí)有兩種選擇，一是將加密圖像進(jìn)行無(wú)損壓縮；二是對(duì)非加密圖像進(jìn)行等比擴(kuò)大（防止圖像變形），然而實(shí)際上有用信息是加密圖像，將加密圖像壓縮就會(huì)增加噪聲的影響程度，所以必須將非加密圖像等比擴(kuò)大，然后得到相應(yīng)的矩陣尊。

首先對(duì)A套進(jìn)行奇異值分解，得到A一US Vr，其中S是A,的奇異值矩陣，目標(biāo)就是將保密矩陣W嵌入到矩陣S中，在這里定義一個(gè)描述保密嵌入程度的參數(shù)a’，稱為嵌入強(qiáng)度因子，則保密嵌入的過(guò)程表示為S7一S+aw。

可以看出，矩陣S7包含了所有保密信息，保密信息的能量反映在S7的奇異值當(dāng)中。對(duì)S7進(jìn)行奇異值分解，得到S7；S+ aw =U SIW，則S1反映了嵌入的加密圖像全部信息，因此令S1為嵌入保密后的圖像A：的新奇異值矩陣，南此可以得到嵌入保密后的圖像子塊A：=USi Vr，這樣就完成了加密圖像的嵌入。

上述保密嵌入算法的基本過(guò)程可以表示為：

在上面的公式中，矩陣U，V，U，V1都是正交矩陣。由于對(duì)一個(gè)矩陣進(jìn)行正交變換后它的奇異值保持不變，因此矩陣Ak與S，ak'與S 7有相同的奇異值。設(shè)仍(A')為矩陣A。的第ak個(gè)奇異值()，通過(guò)Wey1定理可知原圖像矩陣子塊和嵌入加密網(wǎng)像矩陣子塊的奇異值之間有如下關(guān)系：

上式中，嵌入強(qiáng)度因子a的意義在于其衡量了加密對(duì)原圖像的擾動(dòng)情況一在加密嵌入時(shí)，選擇合適的強(qiáng)度因子是很重要的，小的嵌人強(qiáng)度因子有利于保護(hù)圖像的透明性，但嵌入的加密信息容易受到外界噪聲干擾，如果噪聲干擾足夠大，則加密信息可能被噪聲淹沒(méi)而完全消失，導(dǎo)致提取加密圖像時(shí)無(wú)法得到加密圖像的全部信息；大的嵌入因子有利于增加算法的穩(wěn)定性，即使在噪聲較強(qiáng)的情況下加密信息也不會(huì)受到很大影響，但是過(guò)大的嵌入強(qiáng)度因子可能對(duì)原矩陣的奇異值產(chǎn)生較大影響，有可能破壞加密圖像的透明性，影響圖像質(zhì)量和保密性。因此，在加密嵌入時(shí)要選擇適當(dāng)?shù)那度霃?qiáng)度因子使保密的圖像的不可察覺(jué)性與穩(wěn)定性達(dá)到最佳。合成的圖像如圖2所示。

（2）加密圖像的提取

加密圖像的提取是上述嵌入過(guò)程的逆過(guò)程，通過(guò)提取可以把加密圖像顯示出來(lái)。在加密圖像提取時(shí)我們得到的是受到干擾的圖像矩陣Ak，首先對(duì)Ak進(jìn)行奇異值分解：

由此得到包含有全部加密圖像信息的奇異值矩陣s1*，然后利用加密圖像嵌入時(shí)的矩陣U1，Vl得到：

根據(jù)上述加密圖像嵌人的算法可得：

這樣就得到了加密圖像的信息w*，其中a為加密圖像嵌入時(shí)所月j的嵌入強(qiáng)度因子，S為非加密圖像②的奇異值矩陣a提取的圖像如圖3所示。

4、圖像的比較和檢驗(yàn)

圖像矩陣的元素表示圖像在該像素點(diǎn)處的顏色強(qiáng)度，數(shù)值范圍是從0～255。0表示該點(diǎn)顏色強(qiáng)度最低，表現(xiàn)在顏色上該點(diǎn)是黑色；255則表示該點(diǎn)顏色強(qiáng)度最高，表現(xiàn)在顏色上該點(diǎn)是白色。為了檢驗(yàn)提取后的圖像與原圖像的差別并用數(shù)值表示出來(lái)，需要將提取后的圖像與原圖像的圖像矩陣進(jìn)行減法運(yùn)算。減法帶來(lái)的問(wèn)題是負(fù)值的出現(xiàn)，由于圖像矩陣的元素取值只能是0~255，在出現(xiàn)負(fù)值時(shí)矩陣的負(fù)值會(huì)自動(dòng)調(diào)整為0，在取絕對(duì)值后再求矩陣所有元素的和，根據(jù)所有元素和的大小對(duì)建立模型的穩(wěn)定性進(jìn)行評(píng)價(jià)。檢驗(yàn)流程如圖4所示。

將提取后的圖像與原圖像的圖像矩陣進(jìn)行減法運(yùn)算，求得絕對(duì)值之和為605150，然而圖像矩陣共有478518個(gè)元素，提取出來(lái)的加密圖像平均每個(gè)圖像矩陣元素僅與原圖矩陣元素相差1.2646個(gè)單位，這是個(gè)非常小的值，說(shuō)明加密圖像得以較好的恢復(fù)，本文的模型具有較好的穩(wěn)定性。

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