近些年來，為高圖像傳輸過程中的安全性，已經(jīng)提出了很多基于混沌方法實(shí)現(xiàn)圖像加密的算法，但在系統(tǒng)的加密中，利用一維混沌，則小密鑰空間和弱的安全性的缺點(diǎn)就顯得非常突出。為克服前面提到的缺點(diǎn)，我們設(shè)計了一種新的加密方案，該方案采用高維混沌映射和傳統(tǒng)的加密技術(shù)相結(jié)合的方法，即用空間混沌復(fù)雜的非線性行為產(chǎn)生的隨機(jī)序列去置亂圖像中像素的位置，與此同時，用另外兩個不同參數(shù)的空間混沌映射去置亂原圖像和加密后的圖像。

一、空間混沌系統(tǒng)

空間推廣的二維系統(tǒng)差分形式如下：

這里，f（μ，（1+ω）v）是非線性函數(shù)，m，n，Xmn是三維空間的幾何坐標(biāo)，μ是實(shí)參數(shù)，ω是實(shí)常數(shù)。事實(shí)上，方程（1）是物理中一維對流方程的離散形式，

由于方程（2）帶有非線性的強(qiáng)迫項，因此，對于方程（1）的定性研究可以為方程（2）的研究提供一些有用的信息。

注意到當(dāng)n=n0，ω=0 系統(tǒng)可以化為下面一維形式：

因?yàn)閚0是常數(shù)， 上面的方程可以寫為：

這是我們熟悉的一維形式。具體地，當(dāng)f（μ，xm）=μXm（1-Xm）方程可以寫為：

這是眾所周知的一維Logistic模型。特別地，當(dāng)3.7<μ<4時，系統(tǒng)是混沌的。

顯而易見，當(dāng)f（μ，（1+ω）xmn）=1-（μ（1+ω）×xm，n）2時，二維離散動態(tài)系統(tǒng)可以寫為：

研究表明當(dāng)，2>μ≥1.55，ω∈（1，-1）系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌狀態(tài)，由于有兩個獨(dú)立的迭代變量， 故稱系統(tǒng)（6）為空間的二維Logistic映射。

空間混沌系統(tǒng)是一維混沌映射的推廣形式，由于在空間混沌映射中有m和n兩個變量， 從而非線性的性質(zhì)增強(qiáng)， 所以， 由它產(chǎn)生的加密序列比由一維混沌產(chǎn)生的序列（一個變量m）更為復(fù)雜， 更具有隨機(jī)性， 更難預(yù)測這樣的混沌序列， 因此， 空間混沌比一維混沌更有利于加密和一維Logistic混沌映射相比， 在空間混沌系統(tǒng)中， 不僅有兩個控制參數(shù)μ 和ω， 而且研究表明推廣的空間混沌系統(tǒng)的軌道對參數(shù)變化是極其敏感的， 并且系統(tǒng)（6）產(chǎn)生混沌行為有更寬的參數(shù)范圍， 所以參數(shù)μ 和ω 及初始條件都能用來作為密鑰。當(dāng)μ = 1.75， ω = 0.05時， 系統(tǒng)（6）的混沌和二維分岔行為如圖1~3所示。

間混沌映射實(shí)現(xiàn)圖像加密， 即：

相對應(yīng)的系統(tǒng)為：

二、加密方法

1、 置換過程

根據(jù)Golomb的關(guān)于偽隨機(jī)序列的3個假設(shè)，理想的混沌序列應(yīng)具有如下統(tǒng)計特征:均值為零，自相關(guān)特性為δ函數(shù)，互相關(guān)特性為零特性.由方程（7）生成的混沌序列{xi，j}的自相關(guān)和互相關(guān)特性如圖4所示。圖4（a）出示了自相關(guān)特性，圖4（b）出示了初始值僅僅有一點(diǎn)變化（<1010）時兩個序列的互相關(guān)特性，這說明了{(lán)xi，j}對密鑰的變化是敏感的。同理能得出{yi，j}和{zi，j}對密鑰的變化也是敏感的。

由于圖像數(shù)據(jù)在相鄰的像素之間具有高度的相關(guān)性， 為降低像素之間的相關(guān)性， 我們采用一種高維的空間混沌映射置換像素的位置。不失一般性， 假定一個M×N的原圖像， 像素的位置矩陣是Qi，j。i=0，1， ...，M1，j=0， 1， ...，N1， 置換過程如下：

步驟1: 針對方程（7）給初始條件x0，0，在做一些次迭代后得到Xm，n， 用Xm，n作為新的X0，0，令：

顯而易見，h∈[0，1]繼續(xù)做空間混沌映射的迭代和方程（10），直到得到M個不同的屬于（0，1）M之間的數(shù)，這些數(shù)可以重新記為hi（i=1，2...，M），這里如果，i≠j則，hi≠h j ，Qij可根據(jù)hi重新排列矩陣的行，即移動h1行到第一行， h2行到第二行，依次類推，就形成一個新的位置矩陣Qhij，對于新的矩陣，Qhij由下面步驟2諸列進(jìn)行列變換。

步驟2: 用目前的x0，0對方程（7）進(jìn)行迭代， 令

易見c∈[0N，-1]，繼續(xù)做空間混沌映射的迭代和方程（11），直到得到N個不同的屬于（0，1）N之間的值，這些數(shù)可以重新寫為ci（i=1，2...，N），如果，i≠j則，ci≠cj，Qhij根據(jù)ci重新排列矩陣的列，即移動第一列到c1列，第二列到c2列，依此類推，對矩陣，Qhij進(jìn)行新的列變換。

為進(jìn)一步提高安全性， 可以逐行進(jìn)行列變換， 也就是從矩陣Q，hji的第一行直到矩陣的最后一行逐行進(jìn)行列變換。在不同的x0，0下， 列變換可以依據(jù)步驟 2 所描述的方式重復(fù)進(jìn)行。

2、替代過程

步驟1:置亂后圖像的每一個像素是十進(jìn)制的灰度值，把十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)，得到一個新的M×N矩陣），B（i，j）。

步驟2:選擇兩個任意的初始條件y′0，0和z′0，0，把y′0，0和z′0，0量化成對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)y0，0和z0，0。這兩個二進(jìn)制混沌序列{yi，j}和{zi，j}是由方程（8）和（9）產(chǎn)生的.分別從{yi，j}和{zi，j}中截取有限個數(shù)的序列去構(gòu)建兩個M×N矩陣Y和Z 。

步驟3: 替代過程為：

這里0≤i≤M-1，0≤j≤N-1直進(jìn)行這種替代過程，直到圖像中所有的元素加密結(jié)束為止。

解密過程是加密過程的逆過程。

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