基于Baker映射迭路的圖像加密算法是利用Baker映射迭路所得的有限符號(hào)串對(duì)圖像像素位置編碼，從而對(duì)數(shù)字圖像進(jìn)行置亂，并計(jì)算置亂周期和置亂度，在此基礎(chǔ)上，利用Logistic映射的混沌性質(zhì)對(duì)置亂圖像作了進(jìn)一步的加密。

一、相關(guān)知識(shí)

1、迭路

符號(hào)動(dòng)力學(xué)指出，如果動(dòng)力系統(tǒng)的某軌道一定通過(guò)一列不同的區(qū)間，將每個(gè)區(qū)間用一個(gè)符號(hào)對(duì)應(yīng)表示，那么就得到這條軌道的迭路。

定義

設(shè)映射F是從集合X到其自身的函數(shù)，Λ為X的子集，如果：

1）若x∈Λ，則F（x）∈Λ；

2）對(duì)于任一點(diǎn)b∈Λ，都存在一點(diǎn)a∈Λ，使得F（a）=b。

則稱子集Λ為F的不變集，即F（Λ）＝Λ。

設(shè)函數(shù)F的不變集Λ＝H0∪H1∪…∪HN，滿足int（Hi）∩int（Hj）=覬，對(duì)任意的i≠j成立，其中，i，j=0，1…，N，N∈Z+.由定義，任一點(diǎn)x∈Λ必對(duì)所有的j∈Z滿足Fj（x）∈Ht，其中t=0，1，…，N.由此可得任一點(diǎn)x∈Λ對(duì)應(yīng)的符號(hào)串如下：

即對(duì)于所有的j∈Z，F(xiàn)sj（x）∈Hsj，故x∈F-j（Hsj），且x∈∞j=-∞∩F-j（Hsj）.稱無(wú)限雙邊符號(hào)串s=…s-2s-1·s0s1s2…為點(diǎn)x的迭路。

定義迭標(biāo)映射h:Λ→Σ為s=h（x）。

2、Baker映射

Baker映射是一個(gè)綜合壓縮、拉伸、翻轉(zhuǎn)和折疊的映射，具有混沌的性質(zhì)，受到數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和其他從事非線性研究的科研工作者廣泛關(guān)注。下面構(gòu)造的兩個(gè)Bak-er映射將用于產(chǎn)生有限的符號(hào)串作為圖像空間位置的編碼。

（1）二進(jìn)制Baker映射

首先考慮如式（2）、（3）所示的二進(jìn)制Baker映射及其逆映射。

顯然，區(qū)域Λ=［0，1］×［0，1］為式（2）、（3）的不變集.將該區(qū)域劃分為兩個(gè)互不相交的區(qū)域H0：［0，1］×［0，12）和H1：［0，1］×［12，1］，從而得到任一點(diǎn)x∈Λ相應(yīng)的迭標(biāo)映射：

其中sj由式（1）決定，j∈Z，式（1）中取N＝1.式（2）在y軸上像帳篷映射一樣分段擴(kuò)張，在x軸上壓縮；而式（3）剛好相反，在x軸上分段擴(kuò)張，在y軸上壓縮，故與文獻(xiàn)［8］中介紹的幾何馬蹄映射F是相似的，不同之處在于映射F的不變集ΛF是Cantor集,而式（2）、（3）的不變集Λ=［0，1］×［0，1］.Robinson[8]指出，迭標(biāo)映射hF:ΛF→Σ2是一一對(duì)應(yīng)的。

故任一區(qū)域，int（Vs-n…s-1·s0…sn-1）＝int（∩j=-（n-1）nB-j（Hsj））奐Λ（n∈Z+）都有唯一的有限符號(hào)串s-n…s-1·s0…sn-1與之對(duì)應(yīng)，即對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制編碼（s0…sn-1，s-n…s-1）唯一，其中，sj=0，1（j=-n，…0，1，…，n-1）。這就保證用此方法對(duì)圖像像素點(diǎn)編碼是一一對(duì)應(yīng)的。

（3）三進(jìn)制Baker映射

可將二進(jìn)制Baker映射推廣到三進(jìn)制，甚至是K進(jìn)制的情況，并利用其迭路產(chǎn)生的有限符號(hào)串作為圖像像素點(diǎn)的K進(jìn)制編碼.若對(duì)區(qū)域Λ=［0，1］×［0，1］從上至下劃分為3等分，即H0：［0，1］×［0，13），H1：［0，1］×［13，23）和H2：［0，1］×［23，1］，仍然將壓縮、拉伸、翻轉(zhuǎn)和折疊應(yīng)用于這3個(gè)子區(qū)域，則可得到三進(jìn)制Baker映射式（5）及其逆映射式（6）:

不變集仍為區(qū)域［0，1］×［0，1］，式（1）中取N＝2.同樣用式（5）、（6）的迭路對(duì)圖像像素點(diǎn)編碼也是一一對(duì)應(yīng)的。Baker映射還可有其他形式，只是式（2）和式（5）的迭路較為復(fù)雜，置亂效果較好。

二、編碼過(guò)程

由于二維數(shù)字圖像的像素總數(shù)總是有限的，取有限符號(hào)串即可為各像素位置編碼,而編碼的長(zhǎng)度是由圖像的大小所決定的。采用K進(jìn)制Baker映射的迭路進(jìn)行編碼時(shí),可得到KM×KM個(gè)不相交的區(qū)域int（Vs-M…s-1·s0…sM-1），其中M∈Z+，sj=0，1，…，K-1。圖像大小的選取也應(yīng)該是KM×KM，以保證編碼是一對(duì)一的。

下面以2M×2M圖像為例（M∈Z+），敘述采用二進(jìn)制Baker映射的迭路編碼的步驟。其中Ht的選取（t=0，1）如前面第1節(jié)所述。

步驟1

令迭代次數(shù)k=0.對(duì)于每一像素位置（i，j），讀取行、列數(shù)均為n=2M的圖像，取相應(yīng)迭代初始點(diǎn)（x0，y0）＝（2i-12n，2j-12n）。若點(diǎn)（x0，y0）∈Ht，令s0=t，其中t=0，1。

步驟2

令k＝k+1，將點(diǎn)（xk-1，yk-1）代入式（2）得到點(diǎn)（xk，yk）.若點(diǎn)（xk，yk）∈Ht，則令sk=t，其中t=0，1。

步驟3

重復(fù)步驟2，直到k＝M-1。得到有限符號(hào)串s0s1s2…sM-1。令k＝0。

步驟4

令k＝k+1，將點(diǎn)（x-（k-1），y-（k-1））代入式（3）得到點(diǎn)（x-k，y-k）.如果點(diǎn)（x-k，y-k）∈Ht，則令s-k=t，其中t=0，1。

步驟5

重復(fù)步驟4，直到k＝M。得到有限符號(hào)串s-M…s-2s-1。

由上述步驟可得到所有像素位置的二進(jìn)制編碼（s0s1…sM-1，s-M…s-1），將其轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制，即為（i，j）上像素的新位置。因?yàn)閂s-M…s-1·s0…sM-1＝［i-1n，in］×［j-1n，jn］，用于迭代的初始點(diǎn)滿足（x0，y0）∈int（［i-1n，in］×［j-1n，jn］），其中i，j=1，2，…，n，所以編碼是唯一的。這就保證了圖像置亂的可逆性。

三進(jìn)制Baker映射（或K進(jìn)制Baker映射）進(jìn)行編碼的步驟與上面類似，為保證編碼的唯一性，選取的迭代初始點(diǎn)應(yīng)該在int（Vs-M…s-1·s0…sM-1）中，否則若選在Vs-M…s-1·s0…sM-1邊界上可能會(huì)出現(xiàn)迭路不唯一的情況。

三、仿真實(shí)驗(yàn)

1、二進(jìn)制編碼置亂

選用256×256的灰度LENA圖像，見圖1（a），作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，將其像素矩陣記為I（大小為28×28）。記置亂后的圖像矩陣為I′.用第2節(jié)中編碼方法為I中各像素位置（i，j）編碼，并將編碼轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)對(duì)（Rij，Cij），令I(lǐng)′（Rij，Cij）＝I（i，j），即可得到置亂的圖像。圖1（b）～（d）為所得的置亂結(jié)果。

由圖1可看出,置亂2次可達(dá)到較好的效果。表1為本算法（記為算法1）與二進(jìn)制Baker映射置亂算法（記為算法2）應(yīng)用于不同大小圖像置亂的周期比較。

由表1可看出，算法1對(duì)于2N×2N大小的圖像（N＝2，3，…，10）置亂周期較算法2好.下面對(duì)256×256的LENA灰度圖（圖1（a））采用置亂度求法進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，繪制一個(gè)周期內(nèi)兩種算法置亂度的變化曲線，如圖2所示。

數(shù)值結(jié)果表明，算法1在一個(gè)周期內(nèi)對(duì)圖1（a）的置亂度較算法2穩(wěn)定，迭代較少的次數(shù)即可達(dá)到較好的置亂效果,置亂周期也較長(zhǎng)。

2、三進(jìn)制編碼置亂

如圖3（a）選用243×243的灰度LENA圖像（即大小為35×35）.結(jié)合式（5）、（6），以第2節(jié)中提出的方法為I中各像素位置（i，j）編碼，并將三進(jìn)制編碼轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)對(duì)（Rij，Cij），令I(lǐng)′（Rij，Cij）＝I（i，j），即可得到置亂的圖像I′.圖3（b）～（d）為置亂結(jié)果，置亂周期達(dá)到2604。

3、灰度值擴(kuò)散

為了抵抗統(tǒng)計(jì)分析等攻擊，這里利用Logistic映射式（7）在μ取（3.5699…，4］時(shí)產(chǎn)生的數(shù)列處于混沌狀態(tài)的特點(diǎn)，生成一個(gè)偽隨機(jī)矩陣C，用于擴(kuò)散置亂后圖像的灰度值，達(dá)到加密的目的.灰度值的擴(kuò)散采用按位異或，加法和取模的算法。

由式（7）的特點(diǎn)，選擇參數(shù)μ、初始值x0和加密次數(shù)n作為密鑰對(duì)圖像進(jìn)行加密，圖像加密的具體過(guò)程如下。

步驟1采用1節(jié)提出的二進(jìn)制編碼置亂方法將原圖像I置亂一次得到圖像I′。

步驟2由式（7），取初始值x0∈（0，1），μ＝4，產(chǎn)生一個(gè)與原圖像等大的隨機(jī)矩陣C（記其行數(shù)為r，列數(shù)為c），令C＝floor（L·C），其中，L為該圖像的灰度級(jí)。

步驟3用式（8）、（9）擴(kuò)散I′的灰度值。

其中2≤i≤r，1≤j≤c，L為圖像的灰度級(jí)，+表示按位異或運(yùn)算。重復(fù)上述步驟k次可得到加密k次的圖像I″。式（8）、（9）的逆變換為:

解密為上述過(guò)程的逆過(guò)程。圖4（b）～（d）為對(duì)256×256大小的LENA灰度圖加密解密結(jié)果，加密次數(shù)為3次，密鑰x0=0.7123456789012345，錯(cuò)誤解密的密鑰為x0′=0.7123456789012346，可見10-16的差別就不能正確解密，密鑰空間為10-16。圖4（e）～（h）為加密前后對(duì)應(yīng)的灰度值直方圖。

圖4的實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，圖像文件加密后的灰度直方圖能夠較均勻地分布，正確解密結(jié)果與原圖信息一致.隨機(jī)選取圖像中1000對(duì)相鄰的像素，計(jì)算原圖和密圖的相關(guān)系數(shù)如表2所示。

由表2可看出，該算法能夠有效地削弱圖像相鄰點(diǎn)之間的相關(guān)性。

最后我們測(cè)試了明文一個(gè)像素的改變對(duì)密文的影響，圖5為像素變化率NPCR和歸一化平均變化強(qiáng)度UACI隨加密次數(shù)增加的變化圖。總體來(lái)看，隨著加密次數(shù)增加，一個(gè)像素的改變對(duì)密文圖像的影響加大。

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