小波變換是傅里葉變換發(fā)展史上里程碑式的進展，小波變換在時域和頻域上同時具有良好的局部化性質，并對各種信號特征進行多分辨率分析有極大的適應性，已廣泛用于信號與圖像處理、語言識別與合成等科技領域。那么今天我將給大家介紹一種基于小波變換的數字圖像加密算法。

一、二維離散小波變換

為表示一維信號而發(fā)展起來的一維離散小波變換可以很容易地推廣到二維的情況。與圖像變換一樣，我們考慮二維尺度函數是可分離的情況，也就是：

式中：φ(x)是一個一維尺度函數，若Ψ(x)是相應的小波，那么下列3個二維基本小波Ψ1(x，y)=φ(x)Ψ(y)，Ψ2(x，y)=Ψ(x)φ(y)，Ψ3(x，y)=Ψ(x)Ψ(y)。

就建立了二維小波變換的基礎.注意這里使用的上標只是索引而不是指數。具體說來，函數集{Ψlj，m，n(x，y)}={2jΨl(x-2jm，y-2jn)}，j≥0_l=1，2，3。

式中：j，l，m，n為整數，是L2(R2)下的正交歸一基。

1、正變換

從一幅N×N的圖像f1(x，y)開始，其中上標指示尺度并且N是2的冪。對于j=0，尺度為2j=20=1，也就是原圖像的尺度。j值的每一次增大都使尺度加倍，而是分辨率減半。

在這里用j表示分辨率的索引，而不是尺度。

在這種情況中j≤0，而且在下面的等式中符號也要反過來。

圖像可以依據二維小波按如下方式擴展。在變換的每一層次，圖像都被分解為4個四分之一大小的圖像，如圖1所示，這4個圖像中的每一個都是由原圖與一個小波圖像的內積后，在經過x和y方向都進行2倍的間隔抽樣而生成的。

對于第1個層次(j=1)，可以寫成：

而對于后續(xù)的層次(j>0)，f02j(x，y)，都以完全相同的方式分解而構成4個在尺度2j+1上的更小的圖像[圖1(c)]。最終的結果是一個類似于Haar變換的配置，如圖1(d)所示。將內積寫成卷積形式，可有：

并且在每一層次進行4個相同的間隔抽樣濾波操作。因為尺度函數和小波函數都是可分離的，所以每個卷積都可分解成在f02j(x，y)的行和列上的一維卷積。圖2顯示了這一過程。

這樣一來，二維可分離小波變換可以快速計算.變換過程能執(zhí)行到層，對于N×N像素的圖像，整數J≤log2N。如果變換系數能計算到浮點精度，那么用逆變換重建的圖像就只有微小的失真。

圖3顯示了下一尺度4幅圖像中的每一幅在頻域平面中的位置，如果使用的是sinc小波(也就是理想的半帶低通和高通濾波器)。在每一尺度下，f02j(x，y)包含前一階段的低頻信息，而f12j(x，y)，f22j(x，y)和f32j(x，y)，和分別包含橫向、縱向和對角方向的邊緣信息。

2、逆變換

逆變換是通過與剛才所述類似的過程來實現的。這一過程可圖解為圖4。在每一層(例如最后一層)，都通過在每一列的左邊插入一列零來增頻采樣前一層的4個陣列；接著像圖中那樣，用h0(x)或h1(x)來卷積各行，再成對地把這幾個NΠ2×N的陣列加起來;然后通過在每行的上面插入一行零，將剛才所得兩個陣列的大小增頻采樣為N×N；再用h0(x)和h1(x)與這兩個陣列的每列卷積，如圖4所示。而這兩個陣列的和就是這一層次重建的結果。

二、基于小波變換的數字圖像加密

1、數字圖像水印信息

在這里將文件加密作為數字水印信息。圖5和圖6(a)分別顯示了DWT圖像分解和原始圖像，從中可以看到，其對角方向矩陣主要是對角信息的變化情況，它的值一般為小數，并且數值很小，對顯示的圖像影響較小，因此比較有利于信息的隱藏。

圖6(b)顯示了將數字水印信息加入對角方向信息后DWT圖像重建圖，從中可以看到，在將信息經過灰度處理后，DWT重建圖像與原始圖像圖基本沒有差別，基本無法分辨圖像是否失真。

圖7顯示了數字水印原圖像信息和由圖6(b)DWT分解后恢復的數字水印信息，從中可以看到數字水印的信息被很好的恢復回來。

2、聲音信息

在這里采用了MATLAB提供的聲音文件，其中聲音數據以小數[-1，+1]的形式出現，通過下式處理原始聲音信息。

x(m)=[y(m)+1]×127

式中：x(m)為處理后的聲音信息，y(m)為原始聲音信息。

通過實驗可以聽到聲音沒有產生失真，通過圖8的聲音波形可以看到失真現象非常小，并且效果比較理想。

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