目前混沌序列在圖像文件加密中被廣泛應(yīng)用，基于此，我們將三維帳篷映射應(yīng)用于彩色圖像文件加密，通過三個投影序列與彩色圖像文件對應(yīng)的三個顏色矩陣分別進行簡單的異或運算，達到對彩色圖像文件加密的目的。

一、三維帳篷映射及其性質(zhì)

設(shè)I1=[0, 1]，I1上的一維帳篷映射定義為：

其中：0<α<1。一維帳篷映射含有一個參數(shù)，該映射是混沌的，并具有均勻的分布函數(shù)。

設(shè)I2 =[0，1]×[0，1], il xco, i], I2上的二維帳篷映射定義為：

其中：0<α<1， 0<β<1。二維帳篷映射含有兩個參數(shù)，該映射是混沌的，并具有均勻的分布函數(shù)。

下面，依據(jù)一維和二維帳篷映射的定義方式，給出三維帳篷映射的定義。設(shè)I3=[0，1]×[0，1]×[o，1]，則I3上的三維帳篷映射的定義為：

其中：0<α<1， 0<β<1，0<γ <1。三維帳篷映射含有三個參數(shù)以下證明三維帳篷映射α，β，γ是混沌的，其輸出信號在I3上具有遍歷性，并具有均勻的分布函數(shù)。

1、三維帳篷映射的Lyapunov指數(shù)

判斷動力學系統(tǒng)是否具有混沌性質(zhì)的一個方式是計算該系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)。在系統(tǒng)軌道各個方向的Lyapunov指數(shù)中，最大的Lyapunov指數(shù)對系統(tǒng)的性質(zhì)起決定性的作用，因此稱為系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)。系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)是否大于零，通常作為系統(tǒng)是否存在混沌運動的重要判據(jù)。

當給定初值及參數(shù)后，三維帳篷映射經(jīng)過迭代運算可生成一組三維序列。設(shè)當前一個數(shù)值為x、y、z，經(jīng)三維帳篷映射得到的下一個數(shù)值為( x1，y，z1)，考慮到下一個數(shù)值各分量與
前一個數(shù)值各分量存在一定的關(guān)系，可將三維帳篷映射改寫為：

其中：f1，f2，f3為由三維帳篷映射蓋，fαβγ決定的抽象函數(shù)，表示下一個數(shù)值的各分量與前一個數(shù)值存在一定的關(guān)系。若初始點x0，yo和z0的偏差分別為δxo、δyo和δz0，從初始點(x0，yo，z0）出發(fā)，由式(3)得到逐次迭代的點為（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），…，（xn，yn，zn）。于是前(n-1)個Jaccobi矩陣分別為J0=J（x0，yo，z0），J1=J（x1，y1，z1），...，Jn-1=J(xn-1，yn-1，zn-1)且有：

設(shè)三階矩陣J =Jn-1 ×Jn-2 ×... ×J0，它的三個特征值為λ1、λ2和λ3，則三維帳篷映射的三個Lyapunov指數(shù)分別為：

由矩陣行列式等于矩陣特征值的乘積知，當Jacobin矩陣行列式的絕對值大于1時，矩陣特征值的絕對值中至少有一個大于1，保證至少有一個Lyapunov指數(shù)大于0，從而可以得知系統(tǒng)是
混沌的。

文中定義的三維帳篷映射的Jacobin矩陣為：

其中：a =1/α或者- 1/(1 -α)；b=1/β或者- 1/( 1-β)，c=γ或者- 1/(1 -γ)，所以|J(x)|=|abc| >1?？梢缘弥S帳篷映射是混沌的。

2、輸出序列的遍歷性和分布函數(shù)

混沌運動軌道的點集{Xn}，可以用一個分布函數(shù)來描述，分布函數(shù)的定義為：

所謂遍歷性是指：對x的任意函數(shù)G(x)，有：

對函數(shù)G(x)，引入如下定義的Frobeniu s-Perron算子P，簡稱為FP算子）：

上式等價于：

遍歷性等價于式(10)有惟一解。

對于三維帳篷映射fαβγ，根據(jù)上述可以得到：

其中：J（x）為式(6)確定的帳篷映射fαβγ的Jacobin矩陣。

由式(12)可看出P(xy z）=1是滿足ProP(xy z）的惟一解，即三維帳篷映射fαβγ在I3上遍歷且具有不變的均勻分布。

3、輸出序列的相關(guān)性

將三維帳篷映射fαβγ生成的三維序列分別在xyz方向進行投影得到三個一維投影序列（xt）t=0，{Yi}i=0。{zi}1=0。

對于x方向的一維序列（xt）t=0，利用概率密度知識及序列（xt）t=0有均勻的概率密度函數(shù)p (x)=1，可得：

一維序列（xt）t=0的自相關(guān)系數(shù)的表達式為：

三個一維投影序列（xt）t=0，{Yi}i=0。{zi}1=0之間的互相關(guān)性表達式為：

因此，三維帳篷映射生成的三維序列投影至三個平面后得到的三個一維投影序列之間具有良好的互相關(guān)性。

4、三維帳篷映射生成的二值序列

前面已經(jīng)證明了三維帳篷映射α、β、γ是混沌的，并且由其得到的三個一維投影序列之間具有良好的自相關(guān)性和互相關(guān)性。為了更方便地利用三維帳篷映射的生成序列，需要對x，y，z三個方向的投影序列進行二值化處理。下面對二值化序列的隨機性進行分析。

考慮到以二進制相位轉(zhuǎn)移參數(shù)的方式發(fā)送二進制信息序列的擴頻通信方式中，擴頻序列的取值是{-1，1}的二進制序列，即將生成的實值序列經(jīng)過二值化后產(chǎn)生相應(yīng)的擴頻序列。所以本文也將三個一維投影序列進行取值是{-1，1}的二值化處理。為了說明問題，下面僅給出x方向投影序列的二值化過程，對y、z向投影序列的二值化過程是類似的。鑒于帳篷映射生成序列的范圍為0～1，選取閾值Q5，對實值序列{X1，X2，…}，按下式轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的二值序列{X1'，X2'，…}，

5、自相關(guān)性分析

二值序列的自相關(guān)系數(shù)的計算公式為：

其中：m為步長。當步長m變化時，自相關(guān)系數(shù)變化越小，說明序列的隨機性越好。本文對由三維帳篷映射得到的x，y，z三個方向上的二值序列進行了實驗仿真，各個方向上的自相關(guān)系數(shù)與步長的關(guān)系如圖1所示。

由圖1可見，三維帳篷映射生成的三個二值序列的自相關(guān)系數(shù)具有大致相同的統(tǒng)計特性，均具有良好的隨機性能。

6、平衡性分析

記二值序列中1和-1的個數(shù)分別為P和Q，則序列平衡度的定義為：

其中：N為二值序列長度。平衡度的值越小，表明序列的隨機性越好。

在本文的仿真實驗中，序列長度Ⅳ從1000增加到5000。

三維帳篷映射生成二值序列的平衡度隨序列長度變化的關(guān)系曲線如圖2所示。

由圖2可見，三維帳篷映射生成的三個二值序列的平衡度隨著序列長度Ⅳ的增加而逐漸減小，說明序列中1與-1的個數(shù)隨著序列長度的增加而逐漸接近，這意味著投影序列具有良好的隨機性。

二、應(yīng)用于彩色圖像文件加密

彩色圖像具有三個顏色分量矩陣，即紅(R)、綠(G)和藍(B)。為了實現(xiàn)對彩色圖像文件加密，首先提取彩色圖像的三個顏色分量矩陣R，G，B；其次將由三維帳篷映射得到的三個投影序列進行擴大取整，轉(zhuǎn)換為二維矩陣形式，再與顏色分量矩陣分別進行異或運算，經(jīng)循環(huán)迭代后得到加密圖像文件。

由式(3)知，在三維帳篷映射的定義中需要已知初始值x，y，z和參數(shù)α、β、γ。其中，初始值x，y，z用于生成三維序列，參數(shù)α、β、γ用于與本次得到的數(shù)值進行比較，以生成下一個數(shù)
值。在圖像的循環(huán)加密中，如果每一次循環(huán)加密都定義一組初始信息，包括初始值與參數(shù)值，那么一旦循環(huán)加密的次數(shù)較多時，則會由于初始信息過于龐大而使傳輸代價過高，從而限制
了算法的實用性。所以本文提出利用混沌系統(tǒng)生成三維帳篷映射在循環(huán)加密中所需的初始信息，即在每一次循環(huán)加密時不用重新定義初始信息，只需在由混沌系統(tǒng)生成的混沌序列中依
次取值即可，大大減小了傳輸?shù)拇鷥r，提高了算法的實用性。

實驗中采用logistic混沌系統(tǒng)生成混沌序列，利用該混沌序列提供三維帳篷映射所需的初始信息。

圖像文件加密算法如下：

a)輸入待加密的彩色圖像，選取初值生成logistic混沌序列。

b)得到彩色圖像的顏色分量矩陣，根據(jù)循環(huán)次數(shù)，依次從logistic混沌序列中選取帳篷映射對應(yīng)的初始信息，對帳篷映射進行迭代得到三個投影序列，進行擴大取整，轉(zhuǎn)換為二維矩陣形式。

c)將三個顏色分量矩陣與三個投影矩陣分別進行異或運算，得到加密后的三個分量矩陣，合成分量矩陣得到加密后的結(jié)果圖像。

d)完成一次迭代，循環(huán)次數(shù)加1，得到彩色圖像。判斷是否達到加密效果，如果滿足則終止程序，否則返回b）。

由于實驗中選用簡單的異或運算作為加密運算，具有較高的運算效率，且具有很好的可逆性，可以很方便地完成解密運算，達到解密的目的。

加密圖像文件的解密算法如下：

a)輸入待解密的加密圖像，根摒接收到的初值重構(gòu)logistic混沌序列。

b)得到彩色圖像的顏色分量矩陣，根據(jù)循環(huán)次數(shù)，依次逆序從logistic混沌序列中選取帳篷映射對應(yīng)的初始信息，對帳篷映射進行迭代得到三個投影序列，進行擴大取整，轉(zhuǎn)換為二維矩陣形式。

c)將三個顏色分量矩陣分別與三個二維矩陣進行異或運算，得到解密后的三個分量矩陣，合成分量矩陣得到解密后的結(jié)果圖像。

d)完成一次迭代，循環(huán)次數(shù)減1，判斷循環(huán)次數(shù)是否為0，如果是，則終止程序，否則返回b）。

admin

收藏 海報分享