目前的絕大多數(shù)加密算法是把圖像文件加密成客戶無密鑰就不能理解的數(shù)據(jù)，但在某些諸如視頻點播、音頻點播等應(yīng)用中，圖像或者聲音可能在傳輸前要降質(zhì)處理，以便即使其中有降質(zhì)，客戶仍能理解，他們在觀看或試聽之后決定是否購買更高質(zhì)量的版本?；诖耍覀兲岢鲆环N加密質(zhì)量可以控制、與JPEG2000標準兼容、支持細粒度可伸縮的圖像小波近似系數(shù)混沌加密算法。

一、混沌映射

1、非線性映射

設(shè)Tn(x）是定義在區(qū)間I=[-1，1]上的非線性映射：

前三個非線性映射分別可表為：而其它映射均可由式(2)遞推得到：

對于n∈N，n≥2，x∈[-1，1]，所有Tn(x）都是混沌的，其混沌動力系統(tǒng)的軌跡可由式(3)迭代得到：

且其軌跡分布具有概率密度函數(shù)：

為直觀驗證映射Tn(X)的混沌性質(zhì)，取n=5，以隨機選取的x0∈(0，1)為初始值，按式(5)生成序列｛Xk|k=1，2，3，…，10000}。

發(fā)現(xiàn)其軌跡隨機地分布在區(qū)間[-1，1]上(如圖1(a))；將[-1，1]等分為50個子區(qū)問后，統(tǒng)計得出序列在各子區(qū)間出現(xiàn)的頻數(shù)分布并不均勻(如圖1(c))。

用于密碼系統(tǒng)的最理想的混沌動力系統(tǒng)應(yīng)該是服從均勻分布的，因此，基于Tn(x），定義映射G(x)：

顯然，yk∈[0，1]。

類似地，取n=5，按式(6)生成隨機序列｛yk|k=1，2，3，...，1 0001｝，直觀發(fā)現(xiàn)映射G(x)比Tn(x)具有更好的混沌性質(zhì)（如圖1所示）：其軌跡隨機分布在區(qū)間[0,1](如圖1(b))；當將[0，1]等分為50個子區(qū)問時，統(tǒng)計得出序列在各子區(qū)間出現(xiàn)的頻數(shù)分布是均勻的(如圖1(c))。

定理1G(x)是混沌的。

證明由于Tn(x)的值域正好是嚴格單調(diào)遞增函數(shù)arcsin(x)的主值區(qū)問，從而G(x)是從[-1，1]到[0，1]上嚴格單調(diào)遞增的一一映射，因此，由Tn(x)的混沌性知G（x）也是混沌的。

定理2由G(x)生成的混沌序列｛yk|k=1，2，3，...｝服從[0，1]上的均勻分布U(O，1)。

證明_y∈[0，1]，混沌序列｛yk|k=1，2，3，...｝的分布函數(shù)為：

可見，混沌映射G(x)的軌跡服從[0，1]的均勻分布U(0，1)，且具有概率密度函數(shù)：

2、Logistic映射

眾所周知，Logistic混沌映射具有如下形式：

其中，3.5699456<μ≤4，且由式（9)容易得到如下結(jié)論。

定理3對給定正整數(shù)k由式（9)生成的混沌序列｛zk|k=1，2，3，...｝滿足：（1）_z0∈[0，1]_zk∈[0，1](2)若zk=1或zk=0，則zk+i=0，i=1，2，3，…；(3)若μ=4，zk=1／2，則zk+i=0，i=1，2，3，…。

由此，可得到如下定理。

定理4若3.569 945 6<μ<4，zo≠0，zo≠1，則由式(9)生成混沌序列｛zk|k=1，2，3，...｝。

證明反證法。若有正整數(shù)K，使得zx=0，zx-i=。顯然，由zo≠0，zo≠1知，K>1，且：

與3.569 945 6<μ<4矛盾。故zk≠0，k=1，2，3，…。

二、圖像加密算法

現(xiàn)代密碼學(xué)要求，圖像加密技術(shù)要把待傳輸?shù)膱D像看作明文，在密鑰控制下，通過加密算法實現(xiàn)圖像數(shù)據(jù)的保密通信。這種加密機制的設(shè)汁思想是加密算法可以公開，通信的保密性完
全依賴于密鑰的保密性。為此，本文設(shè)計的加密算法對用戶可以公開，圖像安全性和視覺效果的控制依賴于混沌動力系統(tǒng)的安全性、隨機性及密鑰安全性。

該圖像加密算法的流程（如圖2中方框內(nèi)所標注“加密算法”）是JPEG2(XX)編碼算法的完整過程的組成部分，本文重點敘述小波變換后、壓縮編碼前的加密算法（解密是加密的逆過程）：

步驟1對圖像塊進行尺層小波分解（如圖3）。

步篡2生成加密方案中使用的密鑰參數(shù)：q，n，xo，yo，μ，zo，a，使得3.569 945 6<μ<4, 0.1≤a≤0.5。

步驟3計算加密數(shù)據(jù)量。用式(11)表示的近似系數(shù)加密量算法模型控制加密圖像的視覺質(zhì)量：

其中，r，c為子帶LLR的行列數(shù)，g為保持原圖像質(zhì)量的百分比。q越大，視覺效果越好，但保密度越低。

步驟4利用混沌映射生成加密像素的隨機位置集P=PK=（XK，yk）|1≤k≤m)。將給x0，y0，n代入式(3)計算，并用式(6)進行均勻化處理得序列{Xk| 1≤k≤m}和{yk|1≤k≤m}，再計算：

然后，取P={pk(xk’，yk’)|1≤k≤m}。

步驟5按式(9)生成混沌序列{zk|zk≠0，l≤k≤m}，按下式對近似系數(shù)加密：

其中，pk∈P，而0.1≤a≤0.5為近似系數(shù)凋節(jié)深度控制系數(shù)。則可按下式對近似系數(shù)解密：

三、密鑰生成算法

加密方案中使用的密鑰是—個由7個參數(shù)構(gòu)成的向量，這些參數(shù)包括：視覺質(zhì)量q，混沌映射的參數(shù)n，μ和初值x0，y0，zo，加密系數(shù)a，它們是浮點數(shù)或整數(shù)。而用戶輸入的密鑰Ku是7
個字節(jié)的串，可以看著一個比特序列，因此這里給出—個把Ku變成7個所要參數(shù)的如下變換：

顯然，3.569 945 6<μ<4，0.1≤a≤0.5。

四、加密算法有效性分析

1、復(fù)雜性分析

加密方案以小波近似系數(shù)為加密明文，數(shù)據(jù)量為原圖像的2-2r，呈指數(shù)級減少；密鑰生成算法是幾次一勞永逸的代數(shù)運算；加密算法的復(fù)雜性僅為0(n)（設(shè)n為近似系數(shù)個數(shù)，遠少于原圖像數(shù)據(jù)量）。由于計算規(guī)模較小，所以運算速度非?？?，相對于復(fù)雜的壓縮編碼運算，這里的計算可看作是一步簡單操作。

2、安全性分析

用戶輸入的是7字節(jié)密鑰串，密鑰空問的不同密鑰串的個數(shù)為256=7.205 8e+016。如果采用窮舉法對算法實施攻擊，假設(shè)一臺超高速計算機每秒可以試100億個密鑰（解密速率要達到這個數(shù)量級兒乎是不可能的），要窮盡所有密鑰也要83天時間，這在實時性要求較高的保密通信系統(tǒng)中，即使找到了加密密鑰，由于其滯后時問太多，也已經(jīng)失去了攻擊的價值。

可見，密鑰空間已經(jīng)足夠大了。

同時，混沌系統(tǒng)的偽隨機性、軌跡的均勻分布性使得被圖像文件加密的數(shù)據(jù)位置具有不可預(yù)見性；混沌系統(tǒng)的初值敏感性確保了加密算法對密鑰的敏感依賴性。

五、實驗驗證與效果

為測試該圖像加密算法的有效性，用Matjab工具編程測試了來自通用測試圖像庫的多幅圖像，得到的結(jié)論非常一致。表1中給出了對其中的512x512的Lena和Baboon灰度圖像進行加密實驗的測試結(jié)果數(shù)據(jù)。其中，小波濾波器為Haar小波，分解層數(shù)R=3；原圖像與加密生成的圖像的峰值信噪比(PSNR)是按式(19)計算的（式中的而，w分別為圖像的高度和寬度，Py，Py‘分別為原圖像和加密圖像的像素值）；通過密鑰確定的n=5，μ=4，a=0.5。

從表中數(shù)據(jù)可見，幽像質(zhì)量越高，由于被加密改變的像素就越少，所以相應(yīng)的PSNR就越大，加密耗時也就越少。在圖4中給出了Lena圖像加／解密實驗的效果對比圖，達到了預(yù)期的質(zhì)量控制效果。

此外，加密方案是嵌入可伸縮的JPEG2000編碼方案的一個步驟，由于是通過對最粗一層近似系數(shù)進行的隨機加密，即未對細節(jié)系數(shù)加密，因此，加密后的碼流仍保持了細粒度可伸縮性，不可信賴方等仍可不對碼流解密就商接作任意分解層的細節(jié)系數(shù)的截斷，從而滿足了對任何分解尺度的近似圖像的瀏覽與解碼需求。

加密方案和實驗結(jié)果表明，本文提出的混沌加密算法實現(xiàn)了加密質(zhì)量可以控制、與JPEG2000標準兼容、支持細粒度可伸縮、安全與高效的算法目標，可以應(yīng)用到靜態(tài)圖像、視頻圖像幀的加密編碼系統(tǒng)。

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