當(dāng)前數(shù)字圖像文件加密的方法有很多種，如基于混沌理論的加密方法、基于矩陣變換的加密方法、對(duì)空間域像素值的加密方法、對(duì)變換域系數(shù)的加密方法等。我們以羅曼提出的任意階傅里葉變換光學(xué)實(shí)現(xiàn)的透鏡模式的分?jǐn)?shù)傅里葉變換數(shù)值算法為基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)制作分?jǐn)?shù)傅里葉變換計(jì)算全息圖的過(guò)程，從而達(dá)到通過(guò)分?jǐn)?shù)階的控制來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)字圖像在空間頻率域的加密。

一、計(jì)算全息圖

1、計(jì)算全息簡(jiǎn)介

光全息術(shù)是利用光的干涉和衍射原理，將由物體反射的特定光波以干涉條紋的形式記錄下來(lái)，并在一定條件下使其再現(xiàn)，形成與原物體逼真的三維像。由于記錄了物體的全部信息（振幅和位相），因此稱(chēng)為全息術(shù)或全息照相術(shù)與普通照相相比，全息照相有2個(gè)突出優(yōu)點(diǎn)：①三維立體性，②可分割性。但由于光全_息術(shù)對(duì)儀器設(shè)備要求較高，實(shí)現(xiàn)條件比較苛刻。因此_全息圖記錄和再現(xiàn)的數(shù)字式實(shí)現(xiàn)，即計(jì)算全息引起了人們的重視。計(jì)算全息圖具有制作靈活方便，抗干擾能力強(qiáng)，噪聲小，易于復(fù)制，同時(shí)也毋需昂貴的設(shè)備和儀器，不用復(fù)雜的光路排布等優(yōu)點(diǎn)。

一般計(jì)算全息圖是先用計(jì)算機(jī)制作全息圖，然后用光學(xué)方法再現(xiàn)或者用數(shù)字方法再現(xiàn)，具體過(guò)程分為對(duì)物光信息的采集、處理、編碼、存儲(chǔ)和再現(xiàn)5個(gè)部分。

物光信息的采集是指確定物光信息的函數(shù)形式，一般表現(xiàn)為復(fù)振幅透過(guò)率函數(shù)（或反射率函數(shù)）。物光信息的處理，文中利用分?jǐn)?shù)傅里葉變換全息圖，即使用計(jì)算機(jī)完成物函數(shù)的分?jǐn)?shù)傅里葉變換得到全息平面的復(fù)振幅函數(shù)。信息的編碼足指借助參考光波和物光波干涉來(lái)鎖定相位信息，用計(jì)算機(jī)算出全息圖上干涉條紋的分布函數(shù)，即全息圖的透過(guò)率函數(shù)，這種編碼方式稱(chēng)為干涉形編碼方式，用這種方法制作的全息圖稱(chēng)為干涉形計(jì)算全息圖。分?jǐn)?shù)傅里葉變換全息圖采用的就是這種方式。信息的存儲(chǔ)和再現(xiàn)，文中采用計(jì)算方法實(shí)現(xiàn)波前再現(xiàn)計(jì)算全息圖。

2、全息圖的記錄

全息術(shù)中全息圖記錄的一般光路如圖1所示。自激光器輸出的光束經(jīng)分光器BS分為2束：1束經(jīng)反光鏡Mi反射和透鏡Li擴(kuò)柬后投射到記錄介質(zhì)H上作為參考光R；另1束經(jīng)M2反射和L2擴(kuò)束后照射到物體上，再經(jīng)物體表面的漫反射作為物光波也投射在記錄介質(zhì)上，形成物光0。參考光和物光相干，將記錄介質(zhì)置于該干涉場(chǎng)中，于是就將物光波的全部信息（包括振幅和相位）以干涉條紋的形式記錄下來(lái)。這就是波陣面記錄過(guò)程。

假設(shè)在全息圖平面上物光和參考光的復(fù)振幅分別為：

則物光波和參考光波在記錄介質(zhì)平面上疊加后的光強(qiáng)分布為：

其中：第1、2項(xiàng)是光的自身干涉，為背景強(qiáng)度；第3項(xiàng)包含了物波信息。大小是周期性變化的，引起明暗條紋的出現(xiàn)。

假設(shè)用全息干板作為記錄介質(zhì)，那么在線性記錄條件下，對(duì)于透射全息圖，其特征可用振幅透射系數(shù)Th（x，y）表示為：

其中：τo是未曝光全息干板的透射系數(shù)；β是綜合常數(shù)或全息感光度。

3、全息圖的再現(xiàn)

波陣面重現(xiàn)過(guò)程一般是用與參考光波相似的光波（照明重現(xiàn)光波）照射全息圖，該光波可以表示為：

這樣透過(guò)全息圖的光波復(fù)振幅為：

其中：第1項(xiàng)為直射光波或0級(jí)光波；第2項(xiàng)帶有物光波O的信息，為原始像光波Io（通常為虛像）或+1級(jí)衍射光波；第3項(xiàng)帶有與物光共軛(O’)的信息，為共軛像光波IC（通常是物的一個(gè)實(shí)像）或一1級(jí)衍射光波。相位因子（cPc - cpR）和（tPc+(PR)的作用是改變重現(xiàn)光波的相位。若利用參考光的共軛光波照明，它的光場(chǎng)分布是R’(x，y)，則有：

此時(shí)第2項(xiàng)中因有附加相位項(xiàng)2pR，虛像將發(fā)生畸變，即光波傳播方向偏離了原物光波的傳播方向；而第3項(xiàng)由D‘所產(chǎn)生的實(shí)像則不發(fā)生任何畸變，即按物光波的共軛波傳播。

二、分?jǐn)?shù)傅里葉變換及其數(shù)值實(shí)現(xiàn)

1、分?jǐn)?shù)傅里葉變換

分?jǐn)?shù)傅里葉變換由Namias在1980年引入量子力學(xué)，用以求解偏微分方程。 1993年，Mcndlovic等從光在二次梯度折射率介質(zhì)中的傳播人手，給出了分?jǐn)?shù)傅里葉變換的級(jí)數(shù)形式表達(dá)式。1993年，Lonmann利用Wigner相空間旋轉(zhuǎn)的概念給出了分?jǐn)?shù)傅里葉變換的積分形式。

設(shè)f(x)為輸入信號(hào)，則其p階分?jǐn)?shù)傅里葉變換定義為：

其中常數(shù)：

P（o<|p|<2)為分?jǐn)?shù)階，φ=P×π/2

容易驗(yàn)證f2[f(x)]=f(-1）和f [f(x)]=f(x)。

其物理意義為f2相當(dāng)于將戈軸的2次連續(xù)π/2旋轉(zhuǎn)，因此得到一個(gè)指向?yàn)?x的軸；而f4表示對(duì)f(x)進(jìn)行4次連續(xù)的rr/2旋轉(zhuǎn)，所得結(jié)果與原函數(shù)完全相同。

2、分?jǐn)?shù)傅里葉變換的數(shù)值實(shí)現(xiàn)

下面是基于任意階傅里葉變換光學(xué)實(shí)現(xiàn)的透鏡模

（1）菲涅耳近場(chǎng)衍射的角譜算法

設(shè)物體在單位振幅均勻平面波照射后，光場(chǎng)分布為f(xo），則傳播距離為z處的衍射光場(chǎng)的菲涅耳衍射積分表示為：

把上面積分表示為人射光場(chǎng)與系統(tǒng)函數(shù)卷積的形式為：

利用卷積定理，式(11)在頻域中表示為：

通過(guò)對(duì)入射光場(chǎng)分布函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換，然后乘上一個(gè)二次相位因子，對(duì)結(jié)果施以逆傅里葉變換即可得到菲涅耳衍射光場(chǎng)的分布：

其中省略了相位因子，將空間頻率坐標(biāo)u轉(zhuǎn)換為衍射平面的空間坐標(biāo)xλzu，并將式(10)離散化為:

其中：k=2π／λ為波數(shù)；N為輸入輸出面的采樣點(diǎn)數(shù)；m，m,m'分別為輸入面，傅里葉變換面和菲涅耳衍射平面的離散序數(shù)。這些結(jié)果可以直接推廣到二維信號(hào)中。

（2）任意階分?jǐn)?shù)傅里葉變換光學(xué)實(shí)現(xiàn)的透鏡模式

對(duì)應(yīng)于上面分?jǐn)?shù)傅里葉變換的純數(shù)學(xué)的描述，Lohmann提出了任意階分?jǐn)?shù)傅里葉變換光學(xué)實(shí)現(xiàn)的透鏡模式，把分?jǐn)?shù)傅里葉變換理解為透鏡的位相轉(zhuǎn)換與菲涅耳衍射的結(jié)合。文中采用的結(jié)構(gòu)如圖2所示，圖中，透鏡為薄透鏡。

當(dāng)透鏡焦距f和距離z滿(mǎn)足下面條件：

時(shí)，圖2的裝置將完成p階分?jǐn)?shù)傅里葉變換，圖中Q=sinφ，R=tan(φ／2)f1為變換系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)焦距。下面根據(jù)圖2所示裝置，對(duì)光場(chǎng)沿系統(tǒng)主軸在系統(tǒng)中的傳輸過(guò)程進(jìn)行分析。假設(shè)左平而為物而，則右平而即為分?jǐn)?shù)傅里葉變挾域面。物光從物面?zhèn)鞯酵哥R的過(guò)程是菲涅耳衍射過(guò)程，可表示為：

其中f1(x1)為透鏡前表面光場(chǎng)分布。透鏡后表面光場(chǎng)分布為：

光場(chǎng)從透鏡后表面?zhèn)鞑サ椒謹(jǐn)?shù)傅里葉變換域面的過(guò)程是一個(gè)菲涅耳衍射過(guò)程，可表示為：

公式（15）-（17）合并為：

運(yùn)用上述菲涅耳快速算法對(duì)整個(gè)表達(dá)式作離散化處理，可得到如下算法流程圖：

此算法漉程圖可以直接擴(kuò)服到二維町分離變量的情況。

3、分?jǐn)?shù)傅里葉變換全息圖的制作與重構(gòu)

設(shè)記錄物體為二值化后的數(shù)字圖象，使用計(jì)算機(jī)完成物函數(shù)的分?jǐn)?shù)傅{琶葉變換得到全息平面的復(fù)振幅函數(shù)，使用干涉彤編碼方式對(duì)物光的相位進(jìn)行編碼。

在Maclab平臺(tái)下，分別以文字剛像和人物圖像為例，進(jìn)行模擬記錄和重現(xiàn)過(guò)程。

系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)設(shè)為：參考光波方向角8= π/6，記錄系統(tǒng)入射波長(zhǎng)λ= 630 mm（紅光），透鏡焦距f=150 mm。得到如圖3所示的結(jié)果。

在圖3中，圖(a)是原物圖像；圖3(b)是原物圖像在0.9階分?jǐn)?shù)傅里葉變換域生成的全息圖；圖(c)是對(duì)圖(b)所示全息圖進(jìn)行階分?jǐn)?shù)傅里葉變換所得到的重現(xiàn)圖像，這是由于4階的分?jǐn)?shù)傅里葉變換可以使原圖像精確重現(xiàn)；圖(d)是對(duì)圖(b)所示全息圖進(jìn)行p’=3.3階分?jǐn)?shù)傅里葉變換所得到的結(jié)果。這是因?yàn)橛涗浐椭噩F(xiàn)時(shí)的分?jǐn)?shù)階不匹配，導(dǎo)致在作匹配分?jǐn)?shù)傅里葉變換時(shí)，有共軛項(xiàng)的存在，結(jié)果圖像中含有了背景噪聲，所以得不到原物的重現(xiàn)圖像。這一結(jié)果表明如果沒(méi)有正確的分?jǐn)?shù)階，是無(wú)法正確重現(xiàn)圖像，那么利用這一原理就可以實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)字圖像文件加密的目的。

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