在數(shù)字水印技術中，常采用Arnold變換對水印圖像進行置亂，但Amold變換僅給出了一種形式，而這種形式是公開的，故降低了其安全性。為此我們提出了一種包含有無窮種變換的FAN變換集合，而Arnold變換僅是其中的一個特例。

一、圖像置亂加密技術

圖像置亂作為一種加密技術，已成為數(shù)字圖像安全傳輸和保密存儲的重要手段之一。所謂置亂，就是利用數(shù)字圖像具有的數(shù)字陣列的特點，攪亂圖像中像素的位置或顏色使之變成一幅雜亂無章的圖像，達到無法辨認出原圖像的目的。代表版權信息的水印多為圖像水印，因此在水印的預處理和后處理階段，可以通過置亂去除水印圖像像素間的相關性，分散錯誤比特的分布，從而提高水印的魯棒性。在圖像文件加密中，置亂技術主要關心的是加密強度或解密難度。而在水印技術中，應該重點考慮：

（1）圖像的置亂效果盡可能好。

（2）圖像置亂和復原的開銷（時間和計算量）盡可能少。

目前人們用得較多的置亂技術有基于Arnold變換、幻方變換、分形Hilbert曲線、Gray碼變換、混沌序列等方法。其中，Arnold變換算法簡單且易于實現(xiàn)，在數(shù)字水印方面得到了很好的應用嗍。該文分析了Arnold變換的特點，提出了FAN變換的一般形式，從而擴大了變換的種類。

Arnold變換是V.I.Arnold在研究環(huán)面上的目同態(tài)時提出的—種變換，俗稱貓臉變換。將其應用于數(shù)字圖像，定義如下：

其中，(x，y)是像素在原圖像的坐標，(x’，y’)是變換后該像素在新圖像的坐標．N是數(shù)字圖像矩陣的階數(shù)，即圖像的大小，一般考慮正方形圖像。記變換中的矩陣為A，反復進行這一變換，則有迭代程序：

Arnold變換可以看作是裁剪和拼接的過程，通過這一過程將數(shù)字圖像矩陣中的點重新排列，達到置亂的目的。由于離散數(shù)字圖像是有限點集，對圖像反復進行Arnold變換，迭代到一定步數(shù)時，必然會恢復原圖，即Arnold變換具有周期性。F.J.Dyson和H.Falk給出了對于任意N>2，Arnold變換的周期TN≤N2J2的結論回。顯然，此周期值的上界估計較為粗糙，對實用的指導價值不大。結果如表1所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，Arnold變換的周期與圖像大小有關，隨N的增大而增長。

二、FAN變換的基本原理

所謂變換，必須是具有一一對應特性的映射，這樣才能存在唯一逆映射，從而構成變換，而圖像位置的變換還要求是二維的正整數(shù)型變換，因目前圖像的點位置(x，y)均在x，y取正整數(shù)處。

如果把Arnold變換看成是一種對圖像點坐標的變換中的一種，那是否還有其他的坐標變換呢？如果將Arnold變換中去掉對N的取余數(shù)，則將NxN圖像中的點影射到2Nx3N圖像中，由于該變換是線性且一—對應的，故存在反變換，而變換后的點坐標在每個NxN方陣中都不重復，所以可以用對N取余算法(mod N)將2Nx3N的圖像壓縮到NxN內，因此，如果新設計的變換的點坐標在每個NxN方陣中都不重復，都可以用對N取余算法(mod N)將變換后的圖像壓縮到NxN內。這樣—來問題就轉化為是否可以找到滿足上述條件的變換及其逆變換。答案是肯定的，且這樣的變換有無窮多種，稱之為FAN變換。

考慮對N階方陣圖像正變換的一般表達方式：

其中，

K的作用是防止出現(xiàn)負整數(shù)。當變換矩陣的秩是2時，存在唯一的反變換，其—般表達式為：

其中，K的作用同j洋魁為了保證位置坐標x’、y’為正整數(shù)。二階矩陣求逆很容易，對正變換

x=t∞xx’+tmxy’

及y=tloxx’+tnxy’

有反變換：

簡記為：

顯然，為了使正反變換的系數(shù)均為整數(shù)，只要做到：

至此，定義FAN變換集合如下：

其中：

其中：

滿足FAN變換中式(9)是比較容易的，在Amold變換中，too=l，tol=l，tro-l，tII=2，此時tooxtIi-toixtio=l，滿足FAN變換的條件，是FAN變換集合中的一個特例。下面是—些FAN變換的例子：

用表格表示低位數(shù)的幾個例子如表2：

從表2的例子可以看出，逆變換矩陣也有：rooxr1rro1xr10=+-1的關系，故將上例中的逆變換與正變換交換，形成的置亂變換仍然成立。此關系可以證明如下：

如果式(9)成立，則有：

如果式(10)成立，則有：

綜合式(14)(15)，得證：

由于式(16)及式(13)均是不定方程，可以有無窮多組變換作為解，故FAN變換有無窮多組變換，是一個變換集合。

反復進行FAN變換，可以表達為式(2)，F(xiàn)AN變換同樣有周期性，下面以圖像變換的結果進行實力驗證。

三、圖像FAN變換置亂

設水印圖像為圖1，擴展為N=92矩形如圖2。

進行10次too=2，to1=1，t1o=3，t11=2的FAN變換后的圖像為圖3：

當進行到44次時，又恢復了原圖像。表3是對不同的N及不同的FAN變換，其循環(huán)恢復的次數(shù)。

實用中，由于正變換和反變換的計算量是相同的，故當對水印進行置亂時，如次數(shù)少于循環(huán)周期數(shù)的一半時，用反變換·陜復原圖像可以減少工作量。反之，用正變換更快。

由于破解置亂的難度與變換的種類數(shù)相關，F(xiàn)AN變換集合有無窮多的變換元素，這將大大增加加密的強度。對彩色圖像，可以直接做FAN變換，也可以對RGB三基色選不同的FAN變換，從而更難破解。對彩色圖像用FAN變換置亂的例子如圖4：

用FAN變換矩陣(8，5，11，7)，變換2次的結果如圖5：

為了進一步提高圖像加密的強度，還可以每次變換采用不同的變換矩陣，恢復時用對應的逆變換即可。這樣加密，其加密強度將和變換次數(shù)的階乘成正比，強度很高極難破解。

實測中發(fā)現(xiàn)這樣—個特點，當變換中矩陣系數(shù)取值大時，置亂的效果比系數(shù)取值小時顯著，觀察圖6~圖9。

用Arnold變換矩陣(1112)，變換2次的結果如圖6；用FAN變換矩陣(2132)，變換2次的結果如圖7：

用Arnold變換矩陣(1112)，變換3次的結果如圖8；用FAN變換矩陣(2132)：變換3次的結果如圖9：

可以觀察到由于系數(shù)值大，移位多，其置亂效果顯著。

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