混沌序列具有易于生成、對(duì)初值敏感和類白噪聲的性質(zhì)，因而適合應(yīng)用于密碼系統(tǒng)設(shè)計(jì)。為此我們將二維貓映射推廣到三維，并綜合運(yùn)用一堆無限折疊、Chebyshev、Lorenz等三種較復(fù)雜的混沌映射，共同產(chǎn)生密鑰，對(duì)圖像文件進(jìn)行加密。

一、混沌系統(tǒng)

混沌是非線性學(xué)科的一個(gè)重要方面。它是一種貌似無規(guī)則的運(yùn)動(dòng)，是在確定性非線性系統(tǒng)中，不需要附加任何隨機(jī)因素就可出現(xiàn)類似隨機(jī)的行為（內(nèi)在的隨機(jī)性）?；煦缦到y(tǒng)最大的特點(diǎn)就在于系統(tǒng)的演化對(duì)初始條件十分敏感，因此從長期意義上講，系統(tǒng)具有未來不可預(yù)測(cè)性。

1、Chebyshev映射

Chebyshev映射是一種以階數(shù)k為參數(shù)的映射，其離散化形式定義如下：

其中xn ∈(-1，1)，其概率分布函數(shù)PDF為：

ρ(x)為偶函數(shù)，由混沌信號(hào)的各態(tài)歷經(jīng)性，可以用集平均代替時(shí)間平均，即：

定理1若獨(dú)立選取兩個(gè)初始值xoyo，則產(chǎn)生混沌序列互相關(guān)甬?dāng)?shù)如(4)式。由式(4)知，該映射具有類δ函數(shù)的自相關(guān)性和零值互相關(guān)性，與白噪聲性質(zhì)類似，隨機(jī)性能好，因而可以作為密鑰應(yīng)用于數(shù)據(jù)通信或多媒體安全領(lǐng)域。

2、一維無限折疊映射

一維無限折疊映射的離散化形式可以表示成：

xn?∈(0，b)，a?∈(1，+∞），b?∈(0，1)，n=1，2，…，N，該映射系統(tǒng)是一維Markov系統(tǒng)，在區(qū)間內(nèi)有可列個(gè)非線性分段、第一類不連續(xù)點(diǎn)和不穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)。

該序列具有正的李氏常數(shù)，兇而是混沌的，且其值隨d增大或6減小而增大，當(dāng)d越大，b越小時(shí)，其值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于Logistic映射李氏常數(shù)In2，系統(tǒng)變得更加復(fù)雜，初值敏感性更強(qiáng)，信息擴(kuò)散的速度更快，當(dāng)b→0，a→∞時(shí)，趨近于均勻分布，較Logistic映射隨機(jī)性好，文中參數(shù)選取a=10，b=0.99。

3、Lorenz映射

Lorenz映射是由美國麻省理工學(xué)院的氣象學(xué)家洛倫茲在1963年研究大氣運(yùn)動(dòng)時(shí)描述的：

Lorenz映射是一種維數(shù)較高的連續(xù)混沌系統(tǒng)，其分形維數(shù)介于2~3之間，且主要由參數(shù)r決定?？梢杂脭?shù)值積分的方法求得，如采用四階龍格一庫塔法對(duì)方程進(jìn)行數(shù)值積分，得到隨機(jī)性較好的連續(xù)數(shù)值序列，xn，yn，zn可以選取任一序列作為混沌映射序列，并從中隨機(jī)抽取b個(gè)數(shù)據(jù)，對(duì)選取的數(shù)據(jù)做取整處理。得到的隨機(jī)自然數(shù)作為貓映射矩陣系數(shù)。文中參數(shù)選擇t=10，b=8/3，r=28。

4、貓映射

貓映射最早由Arnold引入n，其二維映射形式可以表示為：

定義矩陣，行列式c的值為1，即該映射是一個(gè)二維保面積、可逆映射，沒有吸引子。實(shí)際上，貓映射包括拉伸和折疊兩個(gè)過程，乘以矩陣C，使x，y變大，相當(dāng)于拉伸，取模使x，y又折回單位矩陣內(nèi)，相當(dāng)于折疊，矩陣C的特征值；相應(yīng)的李氏常數(shù)，因此該系統(tǒng)是混沌的?，F(xiàn)在，我們將2-D貓映射推廣到3-D。引入兩個(gè)控制參數(shù)a，b。

二維映射可以表示成：

將映射擴(kuò)展到三維平面，首先固定zn，在x-y平面上做二維貓映射：

? 接下來xn保持不變，在y-z平面上做二維貓映射：

然后yn保持不變，在x-z平面上做二維貓映射：

連接以上三個(gè)方程式，則：

其中：

其中：

a2=0.243 (k1，a3=0.572 8<1，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于二維映射的特征值，相應(yīng)的最大李氏常數(shù)Ai=ln7.184 2>0．因而三維映射系統(tǒng)變得更加復(fù)雜。變換后A的行列式恒等于1，仍為l-I映射，具有保體積性，且存在著逆映射。

二、加密算法

1、移位置換算法

置換本質(zhì)上是原始圖像與加密圖像之間對(duì)應(yīng)點(diǎn)處灰度值的移動(dòng)。移位置換的思想就是通過改變像素的位置即重排像素的位置來達(dá)到置亂的目的，使秘文塊看起來是隨機(jī)的。置換操作可以是局部的，也可以是全部的。局部變換要達(dá)到較好的置亂效果，必須加大置亂塊的大小，但對(duì)于比較平滑的圖像進(jìn)行加密時(shí)，即使增加置亂塊的大小，在加密后的圖像中電保留了原圖像的大部分信息，加密效果不好。因此，往往采用全局加密的方法?；梅街脫Q是一種常用的置換算法，其思想是：對(duì)于圖像IM*N，給定幻方矩陣S，將I中像素依S按行或列做一一映射，改變像素位置，達(dá)到置亂的目的。在傳統(tǒng)的加密算法中，這種移位矩陣是事先定義好的，與密鑰無關(guān)，因而易于受到差分密碼分析的攻擊，保密性能較差。本文的置換算法是基于混沌密鑰的，移位次數(shù)由混沌序列產(chǎn)生，具有一定的隨機(jī)性，提高了安全性，對(duì)圖像進(jìn)行移位置亂后，完成1次加密。

2、灰度值替代

僅僅靠上述移位置換算法，顯然保密效果足不夠的，要使加密后的圖像變得更加隨機(jī)不可見，就需要改變圖像的灰度直方圖，即對(duì)圖像灰度值進(jìn)行變換。該變換可以在空間域進(jìn)行，也可以在頻域進(jìn)行，兩者各有優(yōu)缺點(diǎn)。空間域算法簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，但置亂效果不是很好；頻域算法，需要對(duì)像素做變換，計(jì)算稍復(fù)雜，但經(jīng)過頻域映射，頻域內(nèi)每一點(diǎn)的變化經(jīng)反變換后，都會(huì)對(duì)整個(gè)數(shù)據(jù)集合產(chǎn)生一定的影響，加密效果好。隨著現(xiàn)代電子工業(yè)技術(shù)的發(fā)展，計(jì)算速度已不再成為重要的難題，我們往往更關(guān)心的足加密算法的安全性能。因而本文對(duì)移位置亂后的圖像采用了頻域(DCT)變換，利用系數(shù)矩陣做比例變換，改變灰度值，完成2次加鏹。系數(shù)矩陣是由一維無限折疊映射產(chǎn)生，隨機(jī)性能強(qiáng)，安全性能高。

3、3-D貓映射

一個(gè)安全性能較好的加密算法應(yīng)該同時(shí)包括置換、替代和擴(kuò)散三個(gè)過程。以上算法經(jīng)過了置換、替代兩個(gè)過程，貓映射則相當(dāng)于對(duì)序列進(jìn)行擴(kuò)散。它利用貓映射的拉仲和折疊的性質(zhì)，使原來相鄰的兩點(diǎn)，經(jīng)過迭代映射后，變得不再相鄰，具有一定程度的初值敏感性和混沌性。要將貓映射推廣至三維，首先應(yīng)對(duì)原圖像的灰度矩陣按行或列進(jìn)行重排操作，變到三維空間，如原圖像I，大小MxN，變換后成為（3，mod（MxN/3），即如果MxN不能被3整除，則需要添加0值來補(bǔ)充矩陣，經(jīng)過貓映射后重排像素值，重新變到二維，并去掉添加點(diǎn)，恢復(fù)到原圖像大小MxN．完成3次加密。映射矩陣A由高維混沌系統(tǒng)Lorenz產(chǎn)生，它含有3個(gè)變量、3個(gè)參數(shù)，加大了密鑰空間，不易被破譯。映射系統(tǒng)矩陣采用整數(shù)值，由于detA=I，其逆映射系數(shù)仍為整數(shù)，加密、解密操作簡(jiǎn)單。

4、符號(hào)矩陣

利用Chebyshev映射產(chǎn)生實(shí)值序列，通過設(shè)定一定的門限值，對(duì)實(shí)值數(shù)列進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)變成符號(hào)序列，由于實(shí)值序列具有隨機(jī)性，因而產(chǎn)生的符號(hào)序列也具有類似的性質(zhì)，然后對(duì)圖像的ix:系數(shù)做逐點(diǎn)變換，改變符號(hào)，完成4次加密，得到加密圖像。

三、混沌序列的生成和加密算法實(shí)現(xiàn)

設(shè)讀人圖像I，大小為MxN。

1、迭代次數(shù)和系數(shù)矩陣的產(chǎn)生

輸入密鑰（x1，n1，n2），利用一維無限折疊映射產(chǎn)生序列值{Xk}。為了獲得均勻性和隨機(jī)性能更好的序列，去掉前(n1-1)次迭代結(jié)果，取Xn1，迭代次數(shù)step=round(xn1*10)。我們定義：

做移位置換，由于I與S是一一對(duì)應(yīng)的，經(jīng)過step步移位置換，隨著S變換為S1，I也變換為I1。去掉前(N2-1)次迭代結(jié)果，用xn2作為初始值，生成混沌序列，對(duì)序列值進(jìn)行熏俳，使其與原圖像大小匹配，作為系數(shù)矩陣y,Y=MxN。

2、貓映射矩陣

輸入密鑰(xo，yo，zo)，作為Lorenz映射的初始值，利用四階龍格一庫塔法求解，積分區(qū)間為[-60，60]，積分步長為0.3，得到序列值{xk}，{yk}，{zk}，任意選取其中一序列生成貓映射矩陣的系數(shù)值，如取{xk}。為了減少計(jì)算置，我們作必要調(diào)整，對(duì)數(shù)值取整后再做模3運(yùn)算，使ax，ay，az，bx，by，bz?∈｛0，1，2｝，即：

得到貓映射矩陣A。

3、加密算法實(shí)現(xiàn)

（1）讀入圖像IM*N。

（2）輸入密鑰(x1，n1，n2，x2，n3，xo，yo，zo)。計(jì)算移位序列的迭代步數(shù)step，符號(hào)矩陣S，系數(shù)矩陣y，貓變換矩陣A。

（3）對(duì)讀人像素灰度值矩陣進(jìn)行移位變換l1=lxstep。

（4）對(duì)圖像I進(jìn)行DCT變換ID=DCT(II)。

（5）改變DCer變換系數(shù)IDD=ID *Y。

（6）做3-D貓映射I=xIDD。

（7）改變系數(shù)符號(hào)，點(diǎn)成符號(hào)矩陣Ifnd =IC．*sign。

（8）輸出加密圖像。

4、解密算法實(shí)現(xiàn)

解密時(shí)，按照上述圖像文件加密過程求逆操作即可。

四、實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果

實(shí)驗(yàn)時(shí)，我們選取以下密鑰對(duì)該加密算法進(jìn)行仿真，即選取n1=1 000，x1=0.207 764，x2=0.607 764，n2=500。n3=500，xo=0.678，y0=0.276.2，z0=0.789。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1-圖3所示。從圖中可以看到該加密算法可以很好的懈密原圖像。此外，我們還繪出圖像的灰度直方圖，如圖4—圖6所示。從圖中可以看到加密后的圖像，其灰度值分布和原圖像有很大差別，因而很難從加密圖像中獲取原圖像信息。

圖7—圖9分別表示在錯(cuò)誤密鑰下，懈密的圖像。圖7為采用錯(cuò)誤密鑰x:=0.207 764 000 000 1（即對(duì)應(yīng)只有系數(shù)矩陣改變）；圖8為采用錯(cuò)誤密鑰X2=0.607 764 000 000 1（即對(duì)應(yīng)只有符號(hào)矩陣改變）。圖9為采用錯(cuò)誤密鑰xo=0.678 000 000 000 1（即對(duì)應(yīng)只有貓映射矩陣改變）錯(cuò)誤解密后圖像。三種情況下，未指明的密鑰均保持不變，三種情況密鑰誤差都很小，達(dá)10-13個(gè)數(shù)量級(jí)，從圖中可以看到，三種情況均不能正確解密原圖像，原圖像信息完全丟失，因而該加密算法時(shí)非常安全的。

在信息高速流通的時(shí)代，不僅要求大量存儲(chǔ)和傳輸圖像，而且往往要求在保證質(zhì)量和安全性的前提下，以較小的空間存儲(chǔ)圖像和較少的比特率傳輸圖像，即采用圖像壓縮編碼技術(shù)。該算法加、解密是在DCT域中進(jìn)行，因而對(duì)于一定的有損壓縮圖像也可以較好的恢復(fù)解密原圖像。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10—圖14所示，采用256x256的灰度圖像，壓縮比分別為2:1、4:1、8:1時(shí)，加密、解密圖像，從圖中看到該算法可以很好的解密被壓縮的圖像。

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