彩色圖像文件加密之四元數(shù)
admin 在信息安全傳榆過程中，進行圖像文件加密很重要，通過運用四元數(shù)的有關知識，我們提出了一種彩色圖像加密算法，把彩色圖像的RGB值和四元數(shù)的三個虛部的系數(shù)聯(lián)系起來，直接用一個四元數(shù)來表示彩色圖像的像素點，并運用單位四元數(shù)的作為密鑰，得到一旋轉(zhuǎn)矩陣，隨后給出了對彩色圖像文件加密的安全體制，該算法具有較強的安全性。
一、四元數(shù)簡介
1、四元數(shù)的定義
四元數(shù)的概念是1 843年由愛爾蘭數(shù)學家威廉，盧云，哈密頓提出的，明確地說，四元數(shù)是復數(shù)的不可交換延伸，它由實數(shù)加上三個元素i、j、k組成。每個四元數(shù)都是1、i、j和k的線性組合，設：
其中i、j、k滿足j2= j2=k2=ijk= -1，Ij=-ji，ik=-jk=i，ki=-ik=j則稱(1)形式的數(shù)q為四元數(shù)，稱a為四元數(shù)的實部，記為Re（q）=a，稱bi+ci+dk為四元數(shù)的虛部，四元數(shù)的全體Q={a十bi十cj+dk／z,b,c,d∈r） 。設qi=ai +bii +crj+dik，q2=a2+bzi+cj+d2k，則四元數(shù)的加法和乘法定義為：
其中當ql或q2有一個為實數(shù)時，不妨設qi =a，則有aqz=aa2+abi +ac2j+ ad2jlc。以下是幾個四元數(shù)的有關概念：
四元數(shù)的共軛：
；四元數(shù)的模：
，把|q|=1的四元數(shù)稱為單位四元數(shù)，把a=0，|q|=1的四元數(shù)稱為單位純四元數(shù)。
四元數(shù)的逆：
，則當q為單位四元數(shù)時，
。
2、四元數(shù)與旋轉(zhuǎn)
四元數(shù)有多種表示方法，如復數(shù)表示，三角形式以及矩陣表示等，對于形式為(1)的四元數(shù)它的三角形式表示為gd ql(cosθ+lsinθ），其中I2=-1，當q為單位四元數(shù)時，
有g= cosθ+lsinθ其中l(wèi)2 =-1，則此時的q稱為旋轉(zhuǎn)四元數(shù)，其中秒表示旋轉(zhuǎn)角度，I表示旋轉(zhuǎn)軸，其幾何意義是以I為轉(zhuǎn)軸，使垂直于轉(zhuǎn)軸平面內(nèi)的一個矢量按右手螺旋方向
轉(zhuǎn)過2θ角度a將一向量繞某一轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)某個角度可以用以下公式表示：
或：
等式(2)和(3)是等價的，Rota是下面的矩陣：
二、彩色圖像文件加密方法
設原始圖像A是一幅256x256的彩色圖像，記為I（x，y），則可以用純四元數(shù)表示為：
其中R(x，y)，G(x，y)和B(x，y)分別代表x，y處的RGB值。
1、彩色圖像四元數(shù)旋轉(zhuǎn)變換
給定一單位四元數(shù)q作為密鑰，由(4)可得到旋轉(zhuǎn)矩陣Ror，將彩色圖像A的像素點按3x3分塊，其中每一個彩色像素都是用一個四元數(shù)(5)的形式表示，對每個分塊利用旋轉(zhuǎn)矩陣進行變換得到三階四元數(shù)矩陣B=RowXA。
2、四元數(shù)矩陣預處理
變換之后的三階四元數(shù)矩陣B中的系數(shù)如果均在0·256之間，則B直接進入3.3進行處理，如果存在不屬于0-256之間的數(shù)，則把B中的每個元素系數(shù)加上B中最大的負數(shù)的絕對值得到正矩陣B’，分別對B'中的每一個元素對256進行取模和取整處理，得到矩陣Bnxx和Buu，這樣Bmoci和Bint。的每一個元素都在0-256之間。
3、加密圖像文件
有定義1：對給定的n階數(shù)字圖像P，變換：
aij為 整數(shù)，而x1...xn∈{0，1，…，N-1））關于P的周期為mN，mN是使得圖像P經(jīng)一系列變換后恢復到P的最少次數(shù)。
定理1以上變換有周期性的充分必要條件為IAI與N互素，其中A是變換矩陣，|A|是矩陣的行列式。
式(6)中的XI∈[1，N-1]∈Z+，把再從正整數(shù)域擴展到四元數(shù)域，即有:
定義2對給定的n階數(shù)字圖像P，變換：
其中aij為整數(shù)，q1，…，qn為四元數(shù)，其中關于P的周期為mN。圖1即加密算法流程圖。
三、解密圖像
解密圖像算法和加密圖像相反，接收者把收到的圖像分成上下兩部分Bmod和Bint，根據(jù)得到的密鑰k對Bmod進行k次矩陣變換到Bint，Bint進行k次矩陣變換到Bint，由Bmod和Bint即可得到矩陣B，根據(jù)所提供的四元數(shù)得到旋轉(zhuǎn)矩陣，從而恢復出原彩色圖像的四元數(shù)矩陣，進而恢復原圖像。
小知識之四元數(shù)
四元數(shù)是最簡單的超復數(shù)。?復數(shù)是由實數(shù)加上元素 i 組成，其中i^2 = -1。 相似地，四元數(shù)都是由實數(shù)加上三個元素 i、j、k 組成，而且它們有如下的關系： i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 , 每個四元數(shù)都是 1、i、j 和 k 的線性組合，即是四元數(shù)一般可表示為a + bi + cj + dk，其中a、b、c 、d是實數(shù)。
