近十幾年來，光學圖像加密技術(shù)吸引了很多中外研究者的興趣。其中很多算法中用到了隨機位相作為密碼，如比較經(jīng)典的雙隨機位相編碼。而多數(shù)圖像加密是近三年來才出 現(xiàn)的一種圖像加密方式，因為它能同時加密多幅圖像而得到人們的關(guān)注。同時這種圖像加密方式在信息的安全快速傳輸方面具有潛在的應(yīng)用。

為此，我們提出了一種雙圖像加密算法，其原理是把兩幅原始圖像作為加密系統(tǒng)輸入復函數(shù)的振幅和相位分布函數(shù)進行圖像編碼，然后對輸入復函數(shù)進行隨機分數(shù)傅里葉變換，得到一個頻域的幅函數(shù)分布，分離出振幅作為加密圖像而相應(yīng)的位相部分則作為加密算法的密碼，同時對這個加密算法的安全性進行了數(shù)值仿真分析。

一、圖像加密算法

一般的圖像加密算法是使用隨機位相作加密系統(tǒng)的密碼，本文嘗試不使用額外的隨機位相，用光學隨機分數(shù)傅里葉變換來實現(xiàn)雙圖像加密。

1、圖像加密算法

一個雙圖像加密算法如圖1。

兩個原始圖像I1(x，y)和I2(x，y）分別被編碼到表示輸入平面光場的復振幅函數(shù)C(x，y)上，即：

這個編碼過程的光學實現(xiàn)可以使用空間光調(diào)制器來完成振幅和相位的調(diào)制，而圖像加密過程使用一次隨機分數(shù)傅里葉變換來完成。

其中I0作為加密圖像，符號§α表示隨機分數(shù)傅里葉變換，（1-t）P是隨機分數(shù)傅里葉變換的隨機相位，作為算法的密碼，0<t<1，0<P<2π，式中φ0的記錄需要使用參考光束來完成，而隨機分數(shù)傅里葉變換的輸出相位φr0應(yīng)是：

式中φ0是加密過程的中間量，而φ0r是加密過程最終的輸出相位。

在隨機分數(shù)傅里葉變換的光學實現(xiàn)中，在輸出平面也需要一個隨機位相調(diào)制，這部分操作在實際中可以對使用在線全息記錄的位相調(diào)用計算機進行數(shù)據(jù)處理來獲得加密的輸出位相，而不必再使用空間光調(diào)制器來完成這個操作。

2、圖像解密過程

圖像解密過程就是圖像加密的逆過程，聯(lián)合I0，φ0r和密碼(1-t)P執(zhí)行一次逆隨機分數(shù)傅里葉變換就可以解密出兩幅原始圖像I1和I2了。

二、加密算法的數(shù)值模擬

強度為0的像素點對于相位編碼圖像的相應(yīng)像素位置的數(shù)值具有“湮沒”作用：

這樣，在解密時無法得到正確的位相信息，即圖像在0像素位置增加一個較小的正數(shù)，即：

用兩種類型（即簡單文本圖像和灰度級肖像）圖像作為輸入罔像用數(shù)值模擬方法驗證這個雙圖像加密算法。在模擬中用到的四幅256×256像素的原始圖像如圖2。

其被分為四組進行測試，即g1={(a)，(d)}，g2={(b)，(d)}，g3={(c)，（a）}，g4={(c)，(b)}，對第一幅圖像進行振幅編碼，而對第二幅圖像進行相位編碼，四組測試中分數(shù)階次選取的數(shù)值為a1=0.4，a2=0.5，a3=0.6，a4=0.7。而參量ε=1×104，t=0.1，所得的加密圖像如圖3。從圖3可以看出來，在不同情況下所得的加密圖像都有類似于白噪音圖像。

圖4給出了使用正確密碼得到的恢復圖像，其中各列圖像對應(yīng)著不同的分組，所有原始圖像都被完好地恢復出來。

為了衡量解密圖像和原始圖像之間的相似程度，定義均方誤差(MSE)函數(shù)：

式中I0和Ir分別表示原始圖像和恢復圖像的像素數(shù)值矩陣。而參量(M，N)是圖像矩陣的行數(shù)和列數(shù)．圖4中各圖像相應(yīng)的MSE值如表1。從表中可見，所有的MSE取值都很小，可以認為原始圖像可以完好地被解密出來。

三、加密算法安全性討論

近兩年來，圖像加密算法的安全性問題得到了很多研究者的關(guān)注，人們考慮了光學圖像加密中的經(jīng)典方案，即雙隨機相位編碼技術(shù)的安全性問題。本文考慮密碼在不同破解程度下加密圖像的安全性問題。

首先考慮隨機位相P在一定范圍內(nèi)的擾動（其它參量α，t選擇正確的數(shù)值），即：

式中P和P'分別表示正確的相位值和擾動后的數(shù)值。d是擾動的振幅，而△P表示擾動的隨機權(quán)重值，其值均勻地分布于區(qū)間（-1，1）。這樣測試安全性的方式可以估計算法抵抗暴力破解的能力。四個分組在這樣的模擬攻擊下的MSE曲線如圖5，其中y軸數(shù)值選取MSE的常用對數(shù)(即LMSE)，本文認為MSE的閾值為10，在閾值以下意味著原始圖像可以被解密。圖5給出四組測試在這樣的攻擊下的LMSE曲線，其中實線標示的曲線對應(yīng)振幅編碼的圖像，虛線對應(yīng)相位編碼的圖像。實曲線在閾值以下部分d的變化范圍△d顯示于四個子圖中，所有的△d都小于0.12。如果用隨機相位變化區(qū)間[O，2π]估算，則算法的安全級近似為（2π／0. 12）256X256=52256X256，這是一個非常大的數(shù)字.而虛線標示的權(quán)限對應(yīng)d的變化范圍更小，四個分組d的變化范圍要小于0.004，這說明編碼于位相部分的圖像具有更高的安全性，算法的安全級是較為理想的。

若隨機矩陣△P的一半元素的值等于O，即半數(shù)的密碼被攻擊者獲?。ㄔ谀M中選擇矩陣△P下半部分的元素等于0），d在一定范圍變化的結(jié)果。對應(yīng)的LMSE曲線濕示于圖6。從圖6中可以發(fā)現(xiàn)△d的數(shù)值比圖5中有所提高，但是編碼到振幅的圖像還是有一定的安全級。而編碼到相位上的圖像則具有較為理想的安全性。

和分數(shù)傅里葉變換一樣，隨機分數(shù)傅里葉變換也具有分數(shù)階這個參量?？紤]隨機相位被完全獲知以及參量f的取值也是正確的情況時，變換的分數(shù)階所能提供安全性的能力，所得的LMSE曲線如圖7，其中計算時分數(shù)階的步長選擇0.002?？梢娋幋a到相位和振幅的圖像所對應(yīng)的曲線都是具有一個很窄的范圍內(nèi)，其寬度要小于0.004。而且在正確的分數(shù)階次附近兩幅原始圖像被完好地恢復回來的，四個子圖中的解密分數(shù)階的位置與預先使用的分數(shù)階是一致的，因為分數(shù)階次僅僅是一個數(shù)值，更主要的密碼還是要依靠隨機相位。

此外參量t對于編碼到相位部分的圖像也具有一定的密碼作用。針對這種情況，假設(shè)t未知，而其它的參量已知（這時編碼到振幅部分的圖像可以完全被解密）。四個分組相應(yīng)的LMSE曲線如圖8。其中在閾值以下的范圍△t是小于0.0065的，所以攻擊者需要一定的努力才能解密編碼于相位部分的圖像，如果減小t的取值，△t還要相應(yīng)地減小。

實際應(yīng)用中，較為重要的圖像應(yīng)該首選編碼到相位部分，因為這部分的安全級要高一些。而輸入平面相位部分的編碼特點類似于水印的思想（即原始圖像與隨機相位的權(quán)重疊加），這在一定程度上增加了對應(yīng)原始圖像的安全性。

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