圖像信息安全問題有著極為廣泛的含義，特別醫(yī)學(xué)圖像必須考慮其特殊性：數(shù)據(jù)的冗余性：對(duì)大數(shù)據(jù)量數(shù)據(jù)加密的可實(shí)現(xiàn)性：能否經(jīng)受住常見的數(shù)據(jù)有損壓縮、格式變換等操作，另外還有病人個(gè)人作息的安全性?；煦鐒?dòng)力學(xué)系統(tǒng)具有偽隨機(jī)性、確定性和對(duì)初始條件與系統(tǒng)參數(shù)的極端敏感性，因此，它為圖像信息加密提供了很好的途徑，利用它可以構(gòu)造非常好的信息加密系統(tǒng)。另外，采用混沌動(dòng)力學(xué)模型構(gòu)造的加密系統(tǒng)可以在多媒體信息受到某些信號(hào)處理后，仍然可以較好地解出信息?；煦缦到y(tǒng)由于具有優(yōu)良的特性，已廣泛應(yīng)用于通信保密中。

一、混沌系統(tǒng)

一類非常簡單卻被廣泛研究的動(dòng)力系統(tǒng)是logistic映射，其定義如下：

其中，0<μ<4稱為分枝參數(shù)(bifurcation parameter)，Xk∈(0，1)?；煦鐒?dòng)力系統(tǒng)的研究工作指出，當(dāng)3.5699456--<μ≤4時(shí)，logistic映射工作于混沌狀態(tài)。也就是說，由初始條件XO在logistic映射的作用下所產(chǎn)生的序列{Xk：k=0，1，2，3，…）是非周期的、不收斂的并對(duì)初始值非常敏感。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)選取不同的值時(shí)，系統(tǒng)能夠表現(xiàn)出倍周期分叉(bifurcation diagram)和混沌（chaos)等復(fù)雜現(xiàn)象，如圖1所示。

從統(tǒng)計(jì)特性可看出，由Logistic映射在參數(shù)μ=2.0時(shí)產(chǎn)生的混沌序列均值為0，自相關(guān)是δ函數(shù)，互相關(guān)為0，其概率統(tǒng)計(jì)特性與白噪聲一致，是理想密碼序列。

另一類簡單的映射是Chebyshev映射網(wǎng)，它以階數(shù)為參數(shù)。k階Chebyshev映射定義如下：

其中Xk的定義區(qū)間是（-1，1）。事實(shí)是通過簡單的變量代換，logistic映射同樣可以在區(qū)間 (-1，1)上定義。其形式如下：

其中λ∈[0，2]。在λ=2的滿射條件下，logistic映射與Chebyshev映射是拓?fù)涔曹椀摹：唵蔚卣f，從理論上講，它們可以視作動(dòng)力性態(tài)相同的系統(tǒng)。這兩種映射所生成的序列的概率分布函數(shù)PDF (ProbabilityDensity Function)也是相同的：

對(duì)于公式(1)形式的logistic映射，如果μ=4，PDF可以改寫為：

只有公式(3)形式的logistic映射我們才能解析地求得PDF。一般的情況下，我們需要用數(shù)值方法求解Perron-Frobenious方程來計(jì)算p(x)。通過p(x)，我們可以很容易地計(jì)算得到logistic映射所產(chǎn)生的混沌序列的一些很有意義的統(tǒng)計(jì)特性。例如，x的時(shí)間平均即混沌序列軌跡點(diǎn)的均值是：

混沌系統(tǒng)具有對(duì)初始條件極端敏感的特性，給定一個(gè)離散混沌系統(tǒng)2個(gè)非常接近的初始值，經(jīng)過幾次迭代后，輸出的結(jié)果可以完全不相關(guān)。因此，利用混沌系統(tǒng)對(duì)初始條件的敏感依賴性，可以提供數(shù)量眾多、非相關(guān)、類隨機(jī)而又確定可再生的混沌序列。

關(guān)于相關(guān)函數(shù)，獨(dú)立選取兩個(gè)初始值X0和y0，則序列的互相關(guān)函數(shù)為：

混沌動(dòng)力系統(tǒng)具有確定性，其遍歷統(tǒng)計(jì)特性等同于白噪聲，因而可以應(yīng)用于包括數(shù)字通訊和多媒體數(shù)據(jù)安全等眾多應(yīng)用領(lǐng)域的噪聲調(diào)制。其優(yōu)勢可以總結(jié)如下：

(1)形式簡單：只要混沌映射的參數(shù)和初始條件就可以方便地生成、復(fù)制混沌序列。我們不必浪費(fèi)空間來存儲(chǔ)很長的整個(gè)序列；

(2)初始條件的敏感性：一般不同的初始值，即使相當(dāng)接近，迭代出來的軌跡都不相同；

(3)同時(shí)，混沌動(dòng)力系統(tǒng)具有確定性，給定相同的初始值，其相應(yīng)的軌跡肯定相同。我們可以輕而易舉地獲得數(shù)量極多地非相關(guān)混沌序列。而且一般情況下，很難從一段有限長度地序列來推斷出混沌系統(tǒng)地初始條件；

(4)從安全的角度，這是非常重要的：具備白噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，可以用于需要噪聲調(diào)制的眾多應(yīng)用場合。

二、高維混沌映射

高維混沌映射網(wǎng)較之一維混沌映射有較復(fù)雜的形式，生成的混沌序列也更加復(fù)雜，將其應(yīng)用于信息加密中，這就大大增加了加密信息的安全性。我們考慮如下形式的二維混沌映射系統(tǒng)：

其中：

式中ai(i =1，2，…，12)均為待定常系數(shù)。

二維混沌映射較之低維情況復(fù)雜，正性李氏指數(shù)(Lyapunov)個(gè)數(shù)大于一維混沌映射。如下面的形式簡單且具有超混沌特性的二維離散系統(tǒng)：

其中a4=1.55，a5=-1.3，a8=-1.1，al0=0.1，Lyapunov指數(shù)為0.238和0.166。

如果用它生成數(shù)字圖像加密的加密變換的因子序列，先分析其特性，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)as=-1.3，a8=-1.1，al0=0.1固定，當(dāng)a4=0.91時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，如圖2所示。

而a4=1.66時(shí)，該系統(tǒng)已經(jīng)是超混沌狀態(tài)了，如圖3所示。

三、基于高維混沌映射的醫(yī)學(xué)圖像文件加密

高維混沌映射的多個(gè)參數(shù)和兩個(gè)初始條件可以設(shè)計(jì)為密鑰得到混沌序列，為了讓加密因子序列盡量保持原混沌序列的偽隨機(jī)性，同時(shí)適于后續(xù)算法的操作。針對(duì)數(shù)字圖像的特點(diǎn)，結(jié)合加密效果與效率指標(biāo)的要求，我們將混沌序列作線性映射，這樣既能保證密鑰與初值和模型參數(shù)的一一對(duì)應(yīng)和同步相異性，又充分利用了系統(tǒng)可能提供的密空間大小，更重要的它可以有效的防止初值區(qū)間超出混沌迭代序列的區(qū)間而使密鑰無效的問題。這樣就得到了一個(gè)整數(shù)序列{Xt}，即加密因子序列。分別將{Xt}和待加密圖像轉(zhuǎn)化為八位二進(jìn)制序列，進(jìn)行異或操作便可得到加密圖像序列，將該序列轉(zhuǎn)化為整數(shù)后就得到了加密圖像。整個(gè)加密過程如圖4所示。

解密時(shí)只需要將加密圖像作為輸入到原加密系統(tǒng)中即可，解密的過程如圖5所示。

圖6為利用高維混沌系統(tǒng)對(duì)醫(yī)學(xué)圖像文件加密、解密后的結(jié)果。圖6(b)是取密鑰xo=1時(shí)對(duì)圖像進(jìn)行加密能夠使圖像變得雜亂無章，加密效果良好。具有很好的保密性。圖6(c)是取密鑰xO=1.0001時(shí)的解密匿像，可見即使密鑰有細(xì)微的差別，都無法獲得正確的解密圖像。雖然二維混沌映射比一維系統(tǒng)計(jì)算復(fù)雜，但其加密效果好，且加密速度還是相當(dāng)快的。

四、結(jié)論

本加密算法對(duì)目前一維混沌序列用于加密時(shí)密鑰空間小易于被破解等缺點(diǎn)做了改進(jìn)，具有形式簡單，生成速度快，密鑰空間大等優(yōu)點(diǎn)，對(duì)灰度圖像，彩色圖像和壓縮圖像都適用。

混沌序列具有良好的偽隨機(jī)特性，在精度取值較高的情況下，它的周期可以無限長，對(duì)圖像的加密效果好：稍微改變系統(tǒng)參數(shù)或初始值便能方便的產(chǎn)生大量的不相關(guān)序列；同時(shí)，混沌序列的產(chǎn)生僅須一個(gè)離散系統(tǒng)的迭代方程，不需任何存儲(chǔ)，實(shí)現(xiàn)方便簡單。因此，混沌序列作為序列密碼在密碼學(xué)界將越來越得到重視和應(yīng)用。

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