由于隨機噪聲有最大的熵，而且再生一個相同的隨機噪聲是非常困難的，因而隨機噪聲用于圖像加密時，具有很高的保密性。提出了一種將隨機相位加密和相位恢復算法中的求解附加相位分布分二步實施的加密方法，由于該方法的實質(zhì)是通過在隨機譜和相息圖之間進行相位恢復迭代以確定相息圖和密鑰的相位分布，因而能夠減小圖像的解密誤差。在相息圖相位離散化的迭代過程中，采用增大設計冗余度的方法，降低了由相位離散化所帶來的解密誤差。

一、隨機相位的加密方法

本文提出的二步隨機相位加密方法與以往常見的方法不同，加密后的圖像是一個僅相位分布的相息圖，此加密過程的框圖如圖1所示。

圖中f(x)表示待加密圖像的復振幅分布，x表示二維的像空間坐標，p（x）代表一個在[O，1]之間均勻分布的二維隨機陣列，全部加密過程分為以下兩步：

1)把f(x)乘以一個隨機相位函數(shù)exp[i2π×p(x)]，然后再將這個乘積f(x)exp[i2πp(x)]作傅氏變換，得到一個隨機譜F(u)。

2)將F(u)再乘以一個特定的隨機相位函數(shù)H(u)=exp[iφ(u)]，以使F(u)H(u)經(jīng)過逆傅氏變換，能得到一個僅相位分布的加密相息圖g(x)，即要求：

其中c為任意常數(shù)，上述加密過程在空域中的表示為：

其中g(shù)(x)的相位分布φ(x)及附加的相位分布φ(u)可以通過迭代的相位恢復算法如IFTA迭代求出。這樣，φ(u)一經(jīng)確定，便可作為從相息圖g(x)本身來恢復f(x)的密鑰，由于p(x)是隨機噪聲，因而通過相位恢復算法求出的密鑰φ(u)也是隨機的，只不過這一隨機相位的分布會與p(x)和圖像f(x)緊密相關(guān)。所以，用φ(u)作為密鑰，有很高的安全性。

在利用迭代傅里葉算法計算相息圖的相位分布以及密鑰φ(u)的過程中，每次迭代過程結(jié)束時，即用本次迭代得到的密鑰φ'(u)將圖像解密，并采用歸一化的價值函數(shù)MSE作為信噪比的描述，來判斷迭代是否收斂。其定義為：

其中I0(x)=|f(x)|2表示被加密圖像的強度分布，Ir(x)表示解密的圖像的強度分布，系數(shù)α是一個縮放因子，其定義為：

當MSE低于某一設定值時，即可作為迭代過程結(jié)束的條件。

圖2對比了用本文的加密方法和應用Wang的加密方法進行圖像加密時解密圖像的MSE隨迭代次數(shù)變化的曲線，從中可以看出，解密圖像的誤差本文方法明顯低于Wang方法。對于灰度分布圖像，應用本文的方法的第250次迭代的解密圖像的MSE比用Wang的方法下降了5.9dB；而對于二元圖像，則下降得更多，約30dB，這是因為二元圖像中O值像素所占的比例一般要大于灰度圖像中0值元素所得的圖像要比應用于灰度圖像時對圖像的改善明顯得多。

二、相息圖及密鑰相位的離散化

出于對實際應用中的技術(shù)性考慮，一般須將相息圖g(x)的相位及密鑰φ(u)離散化。因而在前面所涉及的相位恢復迭代過程就應修正為尋找同時滿足(1)式和(2)式的離散化的相位對的過程。

一般而言，對一個模擬的相位分布直接進行離散化，會引入很大的誤差，因而可以采用迭代的方式進行，即在相位恢復迭代過程中，對每一次迭代的結(jié)果都要進行離散化，并利用這個離散化的相位進行下一次迭代。

由于目前尚未從數(shù)學上證明相位恢復問題解的存在性和惟一性，而相位離散化條件又給相位恢復問題增加了一個額外的限制，因而其迭代的結(jié)果必然會使解密圖像存在很大的散斑噪聲。為解決上述問題，本文通過增大相息圖的面積，即增加設計冗余度的方法來降低相息圖的離散化誤差，即在譜面上F(u)周圍增加了一部分無信號區(qū)，在迭代過程中，在無信號區(qū)內(nèi)可以保留一定的振幅，而且這部分區(qū)域內(nèi)的相位也可以不必離散化，因而可以利用這部分區(qū)域復振幅的自由度來防止迭代過程的停滯。由于該無信號區(qū)僅用于迭代過程而不參與迭代后的解密過程，因而在不影響實質(zhì)應用效果的前提下，保證了由F(u)區(qū)內(nèi)的譜值所決定的再現(xiàn)像有較小的誤差。

三、模擬實驗及其結(jié)果

本文用計算機對應用上述加密方法進行圖像加密／解密的結(jié)果進行模擬，在應用相位恢復算法的過程中，采用分步離散化的方式，采用240步逐步確定離散化的相位分布，以避免迭代離散化的停滯，從前面的分析可知，離散化的階數(shù)越高，離散化誤差越?。捎陔x散化的階數(shù)應在技術(shù)允許的條件下選取，因此把相息圖的相位分布取16階離散化量值，而作為解密密鑰的相位φ(u)，則取與售品空間光調(diào)制器對應的64階離散化量值。圖3(a)是像素數(shù)為128×128的待加密圖像，圖3(b)至(d)分別給出不引入無信號區(qū)，引入無信號區(qū)使總面積為原圖面積的4倍及16倍時的最終再現(xiàn)圖像。從中可以看出，增加的無信號區(qū)面積越大，對解密圖像的質(zhì)量改善就越明顯。當然，隨著面積的增大，計算量也會相應增大，所以，增大面積的多少要在圖像解密質(zhì)量與計算開銷之間進行權(quán)衡，對于本文中的例子，面積增加到16倍時的解密圖像(圖3(d))與期望圖像(圖3(a))之間的差異用肉眼已幾乎難于分辨了，因此，可以認為在此例中，增大到16倍面積已能得到滿意的結(jié)果。

圖4給出了在上述三種情況下，迭代過程中解密圖像的均方差函數(shù)MSE隨迭代次數(shù)的變化情況，由于采用分步離散化在最初的幾次迭代中，離散化對MSE影響很小，因而MSE主要受相位恢復算法的誤差遞減特性的影響，表現(xiàn)出了下降的趨勢，此外，由增大面積使振幅自由度的增加也進一步導致了MSE的下降，但隨著迭代次數(shù)的增加，離散化對MSE的影響開始增大，故而MSE開始增大?？梢钥闯?，在迭代240次以后，迭代已經(jīng)停滯，MSE不再變化，從以上收斂結(jié)果可以看出，對于增大到16倍面積的相息圖的解密圖像，其MSE比未引入無信號區(qū)的情況下降了2個數(shù)量級。

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