近年來，互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)飛速發(fā)展，在網(wǎng)絡(luò)上傳送音頻、視頻和圖像等多媒體信息的需求也日益增多，與此同時，人們對互聯(lián)網(wǎng)信息傳送過程中的安全性和保密性要求也越來越高．加密方法是對信息進行編碼和解碼的方法，對圖像信息的加密方法可以分為三大類：

1)把圖像當(dāng)作普通的二進制文件來進行加密，這種加密方法可以使用包括DES、AES等傳統(tǒng)的密碼學(xué)算法來進行。但這種方法沒有考慮到圖像信息的特征，加密圖像信息的微小失真會導(dǎo)致解密失?。?/p>

2)用圖像處理技術(shù)的加密方法。其中又包括時域加密和頻域加密2個子類：

①時域加密，典型方法是利用混沌系統(tǒng)來對圖像進行像素置亂以及灰度置亂；

②頻域加密，主要是采用分數(shù)階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform，F(xiàn)RFT)來對圖像進行加密，因為FRFT的變換階數(shù)可以作為圖像加密的密鑰，但該方法的加密結(jié)果是復(fù)數(shù)；

3)利用光學(xué)信息處理技術(shù)進行加密，指的是利用光學(xué)加密理論來進行數(shù)字圖像加密處理。例如利用雙隨機相位的方法(Double Random Phase Encryption，DRPE)來加密圖像，但該方法的加密結(jié)果也為復(fù)數(shù)，不利于圖像的存儲及傳輸，因而該加密方法主要在光學(xué)圖像加密的計算機仿真時應(yīng)用。

有不少學(xué)者研究如何建立一種實值圖像加密方法，從而可以減少加密圖像的信息熵，現(xiàn)階段主要有三種實值加密方法：

1）將加密圖像的存儲空間擴大，但是需要存儲及傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量也對應(yīng)增大，因此這種方法的效率不高；

2）利用希爾伯特變換，將圖像壓縮成二分之一的頻域圖像來進行處理，最后再把圖像還原到實數(shù)域；

3）基于保持實值的分數(shù)階傅里葉變換來進行圖像加密，上述三種方法的加密結(jié)果都是在一個很大區(qū)間內(nèi)分布的正數(shù)和負數(shù)的集合矩陣，不利于保存成數(shù)字圖像。

本文提出了一種能夠使雙隨機相位圖像文件加密方法的密文圖像保持為非負整數(shù)值的變換——重構(gòu)變換?；谥貥?gòu)變換的雙隨機相位圖像加密方法可以實現(xiàn)聯(lián)合圖像壓縮和加密的效果。本文首先介紹圖像重構(gòu)變換的實現(xiàn)方法，并對其算法復(fù)雜度進行分析。之后，介紹重構(gòu)變換在雙隨機相位圖像文件加密方法中的應(yīng)用，也即是實現(xiàn)了一種基于變換域的數(shù)字圖像文件加密方法。最后，對保持非負整數(shù)值的雙隨機相位圖像加密方法進行了實驗分析，實驗結(jié)果表明本文加密方法可以減少密文圖像的信息熵和數(shù)據(jù)量并保持密文圖像的安全性，且具有較大的密鑰空間，密文
圖像對于高斯噪音干擾和椒鹽噪音干擾具有較強的魯棒性。

一、重構(gòu)變換

1、加密算法引入

重構(gòu)變換包括預(yù)處理和頻譜搬移兩個過程，對于一幅具有256級灰度的圖像，預(yù)處理的步驟可以記為以下兩步：

Step1：設(shè)原圖像h(x1，y1)的大小為M×N，將h(x1，y1)按上下對半的方式拆開為：

Step2：將h(x1，y1)。。當(dāng)成圖像的實部，h(x1，y1)down當(dāng)成虛部，構(gòu)造一幅M/2×N的復(fù)數(shù)圖像，從而減少圖像的運算空間。

式中k稱為縮放因子，當(dāng)k∈[3，4]時，解密的圖像能夠獲得較高的恢復(fù)質(zhì)量?？s放因子的作用是，減少密文圖像的值域區(qū)間。

在經(jīng)過預(yù)處理之后，復(fù)數(shù)圖像H(x2，y2)可以進行傳統(tǒng)的加密運算。為了使運算結(jié)果轉(zhuǎn)化為256級灰度值，在復(fù)數(shù)域的加密運算之后需要進行頻譜搬移，其步驟如下：

Step1：假設(shè)經(jīng)過復(fù)數(shù)域處理之后的圖像是大小為M/2×N的G(x2，y2)，分別提取其實部和虛部，即：

Step2：將圖像拼接成為M×N的256級灰度圖像h2(x1，y1)。

式中，[]表示取整，d稱為搬移系數(shù)，當(dāng)縮放因子是不同時，它會對應(yīng)有不同的最優(yōu)值。

圖像重構(gòu)變換的特點體現(xiàn)在以下幾個方面：

1)通過疊加的方式將整數(shù)圖像壓縮成一半大小的復(fù)數(shù)圖像，從而能縮小后續(xù)運算的計算空間；

2)縮放因子是的引入，使密文圖像的值控制在[-128 128]之間，最后通過矗參量將密文圖像值域移到[0 255]；

3)頻譜搬移過程中，取整這一步驟會使重建的圖像產(chǎn)生微小失真，但這些失真可以減少密文圖像所需要保存的數(shù)據(jù)量，在加密的同時實現(xiàn)了壓縮的效果；

4)縮放因子和搬移系數(shù)對應(yīng)不同的圖像會有不同的聯(lián)合最優(yōu)值，在實驗分析中我們將對其進行探討。

2、加密算法復(fù)雜度分析

在重構(gòu)變換中，預(yù)處理需要進行M/2×N次的加法運算，頻譜搬移需要（M/2×N+M×N）次的加法運算，因此重構(gòu)變換的運算復(fù)雜度只有0(2M×N)，由上述分析可知本算法的運算復(fù)雜度很低。

二、數(shù)字圖像的雙隨機相位加密方法

光學(xué)信息處理方法能夠?qū)崿F(xiàn)高速的并行處理、抗干擾能力強以及光速運算等優(yōu)點．在光學(xué)圖像加密方法中，雙隨機相位加密應(yīng)用最為廣泛，然而，該加密方法在數(shù)字圖像加密中并不可行，因為它復(fù)數(shù)的加密結(jié)果包含了太多冗余信息．如果給合本文所提出的重構(gòu)變換，那么光學(xué)加密理論中的雙隨機相位加密方法則能應(yīng)用于數(shù)字圖像文件加密。

光學(xué)圖像的雙隨機相位加密過程如圖1所示。

設(shè)原始圖像為H(x2，y2)，r(x2，y2)，R(x2，y2)是隨機相位掩膜，r(x2，y2)=exp (i2兀r0(x2，y2))，R(x2，y2)=exp(i2πRo(x2，y2))，r0(x2，y2)和R(x2，y2)都是取值范圍在(0，1)的隨機數(shù)。H(x2，y2)是加密之后的復(fù)數(shù)圖像。

將重構(gòu)變換應(yīng)用到雙隨機相位加密方案中，則光學(xué)加密系統(tǒng)的加密流程如圖2所示。其中加密步驟為：

Step1：對于一幅M×N灰度圖像H(x1，y1)，通過圖像重構(gòu)變換中的預(yù)處理變換成等×N的復(fù)數(shù)圖像H(X2，y2)。

Step2：用雙隨機相位方法將H(x2，y2)加密成G(X2，y2)，雙隨機相位加密后的圖像G(X2，y2)可以表示為：

Step3：將圖像G(X2，y2)通過頻譜搬移轉(zhuǎn)換成為M×N的H(x1，y1)，其中H(x1，y1)是在O至255之間的非負整數(shù)．因此，H(x1，y1)易于保存為數(shù)字圖像并且在網(wǎng)絡(luò)上傳輸非常方便。

解密步驟是加密步驟的逆過程，因為重構(gòu)變換只是一些線性變換，所以本文所提出的保持非負整數(shù)雙隨機相位圖像加密方案的光學(xué)實現(xiàn)在理論上也是可行的。

三、實驗結(jié)果

為了驗證重構(gòu)變換算法的效率，我們在MATLAB7.O環(huán)境下使用Lena圖像及hill圖像，對基于重構(gòu)變換的雙隨機相位圖像加密方法進行分析，所使用圖像灰度級別為256，大小是256×256。

1、加密圖像的信息熵

為了衡量加密前后圖像包含的信息量是否有變化，這里引入信息熵來進行度量．設(shè)圖像矩陣的大小為M×N，矩陣的信息熵可寫為：

式中0和255分別為該灰度圖像像素的最大值和最小值，P(i)是數(shù)值為i的元素在矩陣中出現(xiàn)的概率?；谛畔㈧?，傳輸數(shù)據(jù)的總比特數(shù)可以寫為：

注意到式(7)對灰度圖像的信息熵求解是針對整型值來說的，若圖像是復(fù)數(shù)圖像或非整型值圖像，則需要通過分段統(tǒng)計的辦法來計算信息熵，為了體現(xiàn)本文所提方案的特點，在表1中引入了其它典型的加密方案在密文圖像的信息熵方面的表現(xiàn)性能，以進行比較。其中，雙隨機相位加密圖像方法中保持密文實值的代表，利于混沌系統(tǒng)來對圖像進行位置亂的加密方法，將圖像的置亂和擴散操作聯(lián)合起來的混沌加密方法。

對于一幅具有256級灰度的整型值圖像來說，其最大信息熵是log228=8。在表1中，這種0方法計算所得信息熵大于8，是因為其密文圖像是非整數(shù)圖像，信息熵計算采用2560個分段近似計算：統(tǒng)計像素值在每一段的出現(xiàn)頻率，再計算其信息熵。又因其密文圖像大小是原文的4倍，該方法需要傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量非常大。

在表1中，后兩種的方法都是利用混沌系統(tǒng)來加密圖像的方法，這類方法能使密文圖像具有趨于8的信息熵，但其劣勢在于不易于圖像壓縮方法相結(jié)合。因為好的混沌加密方法都會具有較好的雪崩效應(yīng)（一個原始圖像像素位的改變會導(dǎo)致密文圖像大部分像素位的改變）。由此，如果再將這些加密方法的密文圖像進行有損壓縮（比如變換編碼，小波編碼），則由壓縮之后的圖像無法恢復(fù)出原始圖像。

本文方法的加密圖像具有比原始圖像更小的信息熵，實現(xiàn)了圖像壓縮與加密的聯(lián)合。本文方法信息熵降低的原因是在進行重構(gòu)變換的過程中，式(4)的取整運算丟棄了小數(shù)部分的信息，從圖3(c)可以看到，本文方法的解密圖像與原文圖像的差別是人眼難以區(qū)分的。另外，從圖3(d)可以看出，本文加密方法所減少的信息熵對應(yīng)著解密圖像的小部分輪廓信息丟失。

2、縮放因子k及搬移系數(shù)d的最優(yōu)值

為了評估本方法恢復(fù)的圖像質(zhì)量，我們使用峰值信噪比(Peak Signal Noise Ratio，PSNR)，這一參量來進行測量。PSNR的定義式為：

其中I（m，n）是原始圖像的灰度值，I'（m，n）是恢復(fù)圖像的灰度值，兩幅圖像的大小都為M×N，D'是圖像灰度級別的最大值。

為了測量縮放因子k對加密效果的影響，我們先將搬移系數(shù)d固定為常量，將忍設(shè)置為在[2.55.5]內(nèi)的自變量，對應(yīng)的PSNR值為因變量，加密效果如圖4所示。

在圖4當(dāng)中，Lena圖像對應(yīng)的最優(yōu)k值是3.2，hill圖像對應(yīng)的最優(yōu)忍值是3.7。當(dāng)是在[3 4]內(nèi)取值時，恢復(fù)圖像與原圖像的峰值信噪比都大于40 dB，這時恢復(fù)圖像與原圖像的差別是人眼難以分別的，因而使用重構(gòu)變換的方法來改良雙隨機相位加密具有實用性．如果將式(4)里面取整這一運算步驟去除，從加密結(jié)果就能夠無失真地恢復(fù)原圖，但是加密的非整數(shù)圖像無法保存成位圖文件，在另一方面，當(dāng)縮放因子k越大，本文方案所加密圖像的信息熵越小，其對原始圖像的有損壓縮率也就越高。

同理，為了測量搬移系數(shù)矗對加密效果的影響，我們可以將k固定為最優(yōu)值區(qū)間內(nèi)的3.5，然后以d在[113 143]區(qū)間內(nèi)作為自變量，觀察其加密所對應(yīng)的PSNR值變化，變化效果如圖5所示。

在圖5中，當(dāng)d取128時，Lena圖像對應(yīng)有最大的PSNR值，當(dāng)d取134時，Hill圖像對應(yīng)有最大的PSNR值。從圖5可以看出，Hill圖像對搬移系數(shù)的變化較Lena圖像敏感，原因是，式(4)的取整運算對于信息熵更小的圖像影響更大。

對于一幅特定圖像來說，如何求解k和d的聯(lián)合最優(yōu)值是一個求解二維多峰函數(shù)的全局最優(yōu)值問題，可以采用群智能優(yōu)化算法來進行快速求解（比如人工蜂群算法）。然而，如果在加密圖像之前都采用優(yōu)化算法來求出其聯(lián)合最優(yōu)值，則不能保證加密方案的實時性。由于當(dāng)是在[3 4]內(nèi)取值，d在[125135]內(nèi)取值時，解密圖像都能取得40 dB以上的峰值信噪比，因此，我們可以確立一個“聯(lián)合最優(yōu)區(qū)間”的概念，當(dāng)忌和矗在聯(lián)合最優(yōu)區(qū)間內(nèi)取值時(d∈[3，4]，d∈[125，135])，解密圖像的微小失真是人眼不可見的。這種在聯(lián)合最優(yōu)區(qū)間內(nèi)取值的方法可擬實現(xiàn)對不同圖像的快速、高效加密。

為了對本方法的安全性進行驗證，將縮放因子k和d移系數(shù)d在最優(yōu)區(qū)間內(nèi)分別取3.5和128，然后考察本文加密方法的密鑰空間，以及對其進行統(tǒng)計分析。

（1）密鑰空間分析

圖像加密算法的密鑰空間一般要足夠大，從而能夠抵抗窮舉攻擊。對于本文提出的加密算法，其密鑰空間分析如下：隨機相位板的每一個密鑰位在MATLAB7.0上執(zhí)行時都是雙準確度實數(shù)，假設(shè)輸入圖像的大小為M×N，則本文方法對應(yīng)的密鑰空間為2×1015XMXN，假設(shè)嘗試一次可能解所需的時間是1秒，則窮舉一幅256×256密文圖像所需要的時間特別長，可見該密鑰空間是足夠大的。

（2）柱狀圖分析

加密前后的柱狀圖如圖6所示。從上圖可以看出，加密之后圖像的像素值近似于正態(tài)分布。本方法加密的任何圖像都是這種近似正態(tài)的分布，因此這種分布的安全性不比均勻分布的安全性低。

（3）鄰域像素相關(guān)性分析

分別從水平、垂直、對角三個方向來分析加密之后圖像的相關(guān)性。為了提高計算效率，我們隨機選取4000對像素點進行分析，其中計算像素相關(guān)性的公式為：

式中x和y分別表示圖像中隨機選出的像素對的兩個灰度值，rxy為圖像的像素相關(guān)性。從表2可以看到，原始Lena圖像在3個方向的像素相關(guān)性都非常高，而加密之后的像素相關(guān)性都是負數(shù)，從而表明改進的雙隨機相位圖像加密方案安全性高。圖7為圖像垂直方向的像素相關(guān)性。

4、抗干擾性能

用圖像處理的辦法來加密圖像的一個顯著優(yōu)點就是這種方法能抵抗一定的加性噪音干擾。對Lena圖像應(yīng)用本文方法進行加密，再對密文圖像分別加上0. 001 dB的高斯噪音和0.001 dB的椒鹽噪音，如圖8(a)，(c)所示。對于被噪音污染之后的圖像，它們解密后的圖像分別如圖8(b)，(d)所示，解密的圖像基本都能分辨出人的輪廓和相貌特征。因此本文方法對高斯黲音及椒鹽噪音干擾具有一定的抵抗能力。

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