基于Hilbert曲線與Gray碼，我們提出兩種針對任意矩形彩色圖像的加密算法，其一是對圖像像素點的空域置亂，其二是對像素點的24位R、G、B分量的空域置亂，解密過程即加密過程的逆。

一、Hilbert曲線

1、二維Hilbert曲線

經典的二維Hilbert曲線的描述如下：首先將正方形四等分，求出各個小正方形的中心，并將它們連接，其次，將各個小正方形再細分為4個相同的小正方形；并連接各個小正方形的中心；……；按照這種分法不斷細分下去，并按一定規(guī)則一一連接，就可以得到如圖1的Hilbert曲線。

2、 三維Hilbert曲線

一階三維Hilbert曲線構造方法：將一立方體等分成8個小立方體，把8個小立方體的中心按一定的次序連接成一條曲線，即連成圖2的三維單元。以三維單元為基礎來構造高階三維Hilbert曲線，因為它是整個曲線形狀的基礎，所以又稱它為基元。

n階三維Hilbert曲線構造方法：將一立方體等分成8個小立方體，每個小立方體用n-1階三維Hilbert曲線代替，然后按基元一樣的次序連接這8條n-1階三維Hilbert曲線。為使曲線更精美，對8條n-1階三維Hilbert曲線作適當?shù)男D使連接的首尾平行于一軸線，如圖3。

3、Hilbert曲線圖像置亂

傳統(tǒng)意義上利用Hilbert曲線實現(xiàn)圖像置亂的思想：對圖像像素點按Hilbert曲線的規(guī)則遍歷，將其存入一維序列中，再重新排列生成置亂圖像。實踐證明，這種置亂算法應用性不強，如10×10大小的圖像則不能按此規(guī)則置亂。

兩種比較典型的算法，一種（算法1）是對非正方形圖像分成四塊滿足Hilbert遍歷規(guī)則的正方形塊，分別是左上角，左下角，右上角，右下角，使得圖像的每一部分至少
被置亂一次n1，這種算法比較繁瑣，增加了算法的時間復雜度。另一種（算法2）是對前者的改進，將像素點的R、G、B三色分量排列成一維序列，對于M×N的數(shù)字圖像，直接把3×M×N個圖像數(shù)據排列到一維數(shù)組pl[]中，假如2n-1<3×M×N<2n，則可對pl[]補上(2n-3×MxN)個值為-1的數(shù)據，選擇一條n階Hilbert曲線進行置亂處理，再把值為-1的數(shù)據去掉，余下的就是置亂后的圖像數(shù)據。該加密算法類似于對圖像像素進行填充，增加了原圖變換的工作量，如圖4。

二、Gray變換

1、Gray碼

定義1對于任意一個非負整數(shù)u，其二進制碼記為糾=(uup-1up-217...u0u1)2，令：

i=1，2，…，p-1，則得到一個二進制表示的整數(shù)gu=(gpgp-1--g1go)2，變換式(l)稱為Gray變換，gu稱為的u的Gray碼，其中運算“0”為模2加法。

2、Gray碼圖像置亂

（1）基于位置：對于MxN階數(shù)字圖像，按一定順序對像素點進行編號，利用(N進制)Gray碼變換置亂圖像。

（2）基于色彩：保持像素點的位置不動，改變像素點的灰度(RGB)值。此時應先把像素點的R、G、B分量值用8位二進制碼表示，再利用二進制Gray碼變換。

如圖5，置亂圖1(64x64)是基于位置的變換，置亂圖2是基于色彩的變換。

值得注意的是：對于基于位置的Gray變換，選取N進制和N進制的位數(shù)比較重要，如圖像大小為3 x4-12，則像素點不能實現(xiàn)位置置亂的一一映射。而基于色彩的Gray變換，加密效果十分差，且周期很短，在實際中不具有應用性。

三、矩形分割算法

將任意一個矩形圖像的長、寬（如果是長方體則是長、寬、高）通過矩形分割算法，對這兩（三）個數(shù)分裂相同的次數(shù)，使長、寬（長、寬、高）分別分成2n（n=1，2…）段，即可將一個矩形（或者長方體）分成2nx2n（或者2nx2nx2n）塊，將這些分裂出來的矩形塊（或長方體塊）作為一個單元，這些單元滿足n階二維(或三)Hilbert曲線遍歷規(guī)則。

分割算法的詳細步驟如下：

對任意整數(shù)m1，m2，做式(2)運算：

假定被分裂的數(shù)為l，通過一次分裂出來的兩個數(shù)為l(0)l(1)，則分裂規(guī)則為：

對m1，m2同時分裂M= Min(Mm1，Mm2)次，即可將兩個數(shù)分別分裂成2M等分。如圖6通過兩次分裂分成4x4=16小塊。

四、圖像加密新算法

1、二維Hilbert曲線混合Gray碼空域重組矩形圖像像素點

（1）圖像分塊

將圖像的寬、高按矩形分割算法將圖像分成2nx2n小塊，將小塊利用n階Hilbert曲線遍歷，達到對小塊的置亂。由于矩形分割算法的特點，任意矩形圖像分出來的塊，最多只有一行塊和一列塊（或者只有一行塊，或者只有一列塊，或者沒有）內的像素點的個數(shù)不是2n(n∈N)，如圖6為第一列塊和第三行塊內的像素點的個數(shù)不為2n(n∈N)。

（2）對小塊內像素點的處理

①若小塊內的像素點的個數(shù)為2n(n∈N)，則可以選擇n位二進制位對小塊的像素點進行Gray碼位置置亂，假定圖像塊大小為2x4，對小塊內像素點進行編號(0，1，…，7)，從而用3位二進制Gray碼變換重新排序像素點。

②若小塊內的像素點的個數(shù)不是2n(n∈N)，比如3x3，則利用Gray色彩置亂順序遍歷小塊內的像素點。

實驗證明，小塊內像素點的Gray碼變換主要是降低像素點之間的相關性，單從視覺上來說，即使不對小塊Gray變換，圖像的置亂效果也是很不錯的，如圖7。

2、三維Hilbert曲線混合Gray碼空域重組矩肜圖像24位

（1）將像素點對應的R、G、B分量值轉換為8位二進制數(shù)，把圖像分成24個位平面，將像素點的24個位存入三維序列P3[k，i，j]中，其中i，j對應像素點的坐標，0≤k<24，如圖8。

（2）將width，height，24這三個數(shù)按分割算法進行分裂，將長方體劃分為2nx2nx2n個小長方體塊，對應胛階三維Hilbert曲線遍歷規(guī)則。

（3）對小長方體塊內二進制位數(shù)據的處理，與上節(jié)中的對小塊處理類似，只不過從平面延伸到了空間，規(guī)則為：

①若小長方體塊內的元素個數(shù)為2n(n∈N)，則選擇Gray碼位置置亂。

②若長方體塊內的元素個數(shù)不是2n(n∈N)，則不做變換，因為小塊內存儲的元素是二進制位，如圖9。

五、加密算法分析

（1）創(chuàng)新性

利用三維Hilbert曲線對彩色圖像的24位空域置亂，通過圖9可以發(fā)現(xiàn)，對彩色圖像24位的空域置亂可以達到非常好的置亂效果，大大降低了像素之間的相關性。

（2）加密算法執(zhí)行效率

算法在.net 2005環(huán)境下編譯運行，機器配置為AMD 64Processor 2800+，內存1GB。對238×170圖像（圖4的原圖）分別用4種算法變換一次所需要的時間如表1。

通過表1發(fā)現(xiàn)，基于二維Hilbert變換的新算法較這2種算法執(zhí)行效率都要高，而基于三維的Hilbert變換則要慢很多，這與三維空間中的數(shù)據量有關，但是其置亂效果是非常好的。

（3）安全性

由圖4、圖5、圖7、圖9可以看出，基于像素點的空間位置置亂可能會給解密者留有一個信息：如果原圖像是灰度圖，則加密后的圖像一定是灰度圖。然而基于24位的空域置亂加密后則不再是灰度圖，置亂圖接近混沌狀態(tài)，大大提高了加密的可靠性。

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