隨著整數(shù)階混沌理論與應(yīng)用的發(fā)展，對分數(shù)階混沌系統(tǒng)的研究開始逐漸引起廣大學者的關(guān)注，并且在整數(shù)階混沌理論以及分數(shù)階微積分理論的基礎(chǔ)上提出了眾多的分數(shù)維混沌系統(tǒng)模型，為進一步的應(yīng)用研究奠定了基礎(chǔ)。

本文以一種分數(shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)為基礎(chǔ)，利用此混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列分別進行了圖像像素位置置亂和像素值替代的加密的工作，并進行了多方面的算法安全性分析，比如密鑰空間分析、密鑰敏感性分析、統(tǒng)計分析和抗干擾與抗攻擊分析，研究結(jié)果表明本文算法具有良好的加密效果。此外本文采用的分數(shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)屬于高維混沌系統(tǒng)，并且相比于一般的整數(shù)階混沌系統(tǒng)更加復雜，隨機性更好，可以為圖像加密提供更大的密鑰空間。

一、分數(shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)

分數(shù)階微積分是研究任意階微分和積分的理論，是普通的整數(shù)階微分和積分向非整數(shù)階的推廣。在分數(shù)階微積分理論中有關(guān)分數(shù)階微分有幾種不同的定義，其中Caputo定義方式在實際應(yīng)用中的使用的比較廣泛，這是因為Caputo定義方式適用于時域分析，并且其定義的初始條件與整數(shù)階微分類似，所以在物理意義以及實際分析中有著更廣泛地應(yīng)用。? Caputo微分定義如下：

其中n為不小于α的第一個整數(shù)，Jθ為θ階Riemann-Liouville操作數(shù)，定義如下：

其中τ(o)為τ函數(shù)，0<θ≤1。

有專家提出了一種統(tǒng)一的混沌系統(tǒng)，由于這種混沌模型集合了三種典型的混沌系統(tǒng)，因此也稱為Lorenz-chen-/Lu(LCL)系統(tǒng)。

其中δ∈[O，1]，當δ∈[0，0.8)時，系統(tǒng)(3)表現(xiàn)為Lorenz混沌系統(tǒng)；當δ=0.8時，系統(tǒng)(3)表現(xiàn)為Lu混沌系統(tǒng)；當δ∈(0.8，1]，系統(tǒng)(3)表現(xiàn)為Chen混沌系統(tǒng)。

近來，又有專家根據(jù)系統(tǒng)(3)提出了相對應(yīng)的分數(shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)同，如下：

經(jīng)過仿真實驗得出僅當δ∈[O，1]，α∈(0.9，1]時系統(tǒng)(4)有混沌吸引子出現(xiàn)，并且通過計算α=0.98，α=0.92時的最大李雅普諾夫指數(shù)分別為0.532和0.347，從而進一步說明了系統(tǒng)(4)可以產(chǎn)生混沌現(xiàn)象。

對于上述系統(tǒng)(4)的分數(shù)階微分方程組，Diethelm等提出了一種有效的分析方法稱為預測校驗法(predictor-corrector scheme)，該方法是對經(jīng)典Adams-BashforCh-Moulton方法的一種歸納與擴展，本文的數(shù)值仿真就是依此方法進行的。圖1、圖2、圖3為系統(tǒng)(4)參數(shù)α取值為0.985，萬取值分別為δ=0.3，δ=0.8，δ=0.9時的仿真圖像。

二、圖像加密算法

圖像文件加密分為空間域加密與頻域加密，而空間域加密一般有三種方法：一種是像素位置置亂法，在保持像素灰度值不變的基礎(chǔ)上改變像素的位置，即用圖像置亂的方法來達到圖像加密的目的；另一種是像素值替代法，在保持像素位置不變的基礎(chǔ)上改變像素的灰度值；第三種是空間域復合法，即把前兩種方法結(jié)合，用既改變像素的位置又改變像素的灰度值的方法來達到加密的目的。

本文采用分數(shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)產(chǎn)生用于圖像文件加密的混沌序列，并使用此混沌序列對圖像的像素值和像素位置均進行了加密，由于希望加密所用的混沌序列能夠?qū)γ魑牡淖兓哂忻舾行裕虼藢⒚魑膶傩辕B加到混沌映射的初值和參數(shù)中。

加密算法的步驟：

步驟1：設(shè)原圖像為大小mxn的灰度圖像I，在位置(i，j)處的圖像像素值為I(i，j)，其中i∈[1，m]，j∈[1，n]。取I中所有像素值的平均值，對它做一定的處理后，分別與分數(shù)階混沌系統(tǒng)的初值和參數(shù)疊加，將疊加之后的初值x0，y0，z0和參數(shù)α，δ作為圖像加密的密鑰，并采用分數(shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)(4)產(chǎn)生圖像加密中所需要的混沌序列Ckl和Ck2。

由于混沌序列是根據(jù)混沌系統(tǒng)的初值和參數(shù)產(chǎn)生的一系列偽隨機數(shù)，所以在混沌序列作用于圖像之前必須做一些處理。首先，對Ckl按照式(5)處理，得到dkl∈[O，255]。

其中，floor(x)表示取不大于×的最大整數(shù)，mod(x，y)表示運算x除以y后取余。然后，把序列dkl變形為大小為m×n的矩陣Dkl，用于圖像像素值替代加密。

步驟2：由混沌序列Ck2生成等同于原圖像大小m×n的置亂矩陣Q，并按照置亂矩陣Q對原圖像矩陣l進行像素位置置亂。

置亂矩陣的形成方法是首先將混沌序列Ck2進行大小排序，對于大小相等的混沌序列值，則按取值的先后順序決定其大小順序，然后以它們在序列中的排序位次代替它們自身數(shù)值，從而實現(xiàn)混沌序列變化至互不相同的整數(shù)值序列，在此基礎(chǔ)上進一步由序列生成矩陣即為置亂矩陣。

步驟3：將矩陣Dkl與原圖像矩陣I進行對應(yīng)位置元素一對一異或運算，得到圖像像素值替代加密后的加密圖像矩陣R。

其中i∈[1，m]，j∈[1，n]，xor表示異或運算。

解密算法的步驟：根據(jù)密鑰，把加密過程逆向運算即可獲得解密圖像。

三、實驗結(jié)果與分析

(1)密鑰空間分析

本文加密算法取分數(shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的初始值x0，y0，z0，以及參數(shù)α，δ做為圖像加密的密鑰，那么按照計算機雙精度來計算，密鑰空間可以達到1096，這使得本加密算法足以抵抗窮舉搜索攻擊。

(2)密鑰敏感性分析

加密密鑰敏感性分析結(jié)果如圖4所示，其中(a)為原圖像，(b)為加密密鑰x0取值為8.43的加密圖像，(C)為解密密鑰x0取值為8.4300000000000001的解密圖像，(d)為解密密鑰x0取值為8.43的解密圖像，從仿真結(jié)果中比較可知，本算法對密鑰具有極強的敏感性。

(3)統(tǒng)計分析

抗統(tǒng)計分析攻擊能力的好壞是評判圖像加密算法優(yōu)劣的重要標準。圖5(a)為原始圖像的直方圖，圖5(b)為加密后圖像的直方圖。從圖5中可以看出，原始圖像的像素值在某些點出現(xiàn)的頻率很高，而加密后圖像的直方圖呈現(xiàn)類隨機均勻分布，很好地掩蓋了原始圖像的像素值分布規(guī)律，增加了破譯的難度。

圖6所示為垂直方向原始圖像和加密后圖像相鄰像素的相關(guān)關(guān)系。

可見，原始圖像像素間的相關(guān)性呈現(xiàn)明顯的線性結(jié)構(gòu)關(guān)系，而加密圖像像素間的相關(guān)性呈現(xiàn)隨機的對應(yīng)關(guān)系。表1所示為原圖像和其加密圖像相鄰像素之間的相關(guān)系數(shù)?？梢?，原圖像的相鄰像素高度相關(guān)，而加密圖像的相鄰像素相關(guān)系數(shù)接近于零，其相鄰像素已基本不相關(guān)。

(4)圖像抗干擾與抗攻擊分析

圖像在傳輸或進行其他處理的過程中，經(jīng)常會受到噪聲的干擾和一系列的攻擊，所以抗干擾與攻擊能力的強弱也是檢驗加解密算法優(yōu)劣的一個標準。本文對加密后的圖像添加噪聲密度為0.05的椒鹽噪聲(見圖7(b))、添加均值為0方差為0.01的高斯噪聲(見圖7(e))和剪切部分數(shù)據(jù)(見圖7(h))，解密之后分別得到圖7(c)(f)(i)。可見，此加密算法對椒鹽噪聲干擾和剪切攻擊有較好的抵抗能力，對于高斯噪聲具有一定的抗干擾能力。此外本文加密算法中加密密鑰是基于所需加密圖像的信息疊加產(chǎn)生的，所以使得應(yīng)用于加密的混沌序列對所需加密的圖像具有非常高的敏
感性，可以有效抵抗已知明文攻擊。

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