為了消除線(xiàn)性加密系統(tǒng)的安全隱患，提出了一種基于隨機(jī)分?jǐn)?shù)梅林變換的非線(xiàn)性圖像加密算法。結(jié)合對(duì)數(shù)一極坐標(biāo)變換和隨機(jī)分?jǐn)?shù)傅里葉變換構(gòu)造了隨機(jī)分?jǐn)?shù)梅林變換，隨機(jī)化過(guò)程用到的實(shí)對(duì)稱(chēng)隨機(jī)矩陣由線(xiàn)性同余函數(shù)生成。輸入的實(shí)值圖像經(jīng)隨機(jī)分?jǐn)?shù)梅林變換非線(xiàn)性加密，得到便于存儲(chǔ)和傳榆的實(shí)值密文。該算法增加了線(xiàn)性同余函數(shù)的3個(gè)參數(shù)作為密鑰，與分?jǐn)?shù)梅林變換相比，隨機(jī)分?jǐn)?shù)梅林變換的分?jǐn)?shù)階密鑰的敏感性更強(qiáng)。數(shù)值模擬表明該算法有較強(qiáng)的抗攻擊能力，密鑰靈敏度高，具有良好的安全性。

一、圖像加密算法

1、分?jǐn)?shù)梅林變換

二維函數(shù)f(x，y)的分?jǐn)?shù)梅林變換定義為：

其中：C為常數(shù)，P1，Pz分別為x，y方向的變換階次，和。分?jǐn)?shù)梅林變換的一種快速實(shí)現(xiàn)方法是將以f(x，y)由笛卡爾坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到對(duì)數(shù)一極坐標(biāo)中，再對(duì)轉(zhuǎn)換結(jié)果實(shí)施FrFT。即：

對(duì)數(shù)一極坐標(biāo)變換定義如下：

對(duì)數(shù)一極坐標(biāo)變換決定了分?jǐn)?shù)悔林變換具有非線(xiàn)性屬性。

2、數(shù)字圖像加密過(guò)程

根據(jù)式(2)的類(lèi)推，F(xiàn)rMT的實(shí)現(xiàn)可在離敞分?jǐn)?shù)傅里葉變換（Discrete Fractional Transfonn．DFrFT）的基礎(chǔ)上得到，即FrMTU(x，y)]=DFrFT[f(p，θ)]。得到像的加密和解密過(guò)程如圖1所示。

待加密的二維數(shù)字圖像A的DFrFT的矩陣形式為：

其中：T表示矩陣轉(zhuǎn)段，p是DFrFT的分?jǐn)?shù)階。變換核矩陣Hp為：

其中：V為本征向鼠矩陣，Dp為DFrFT本征值的對(duì)角矩陣，Dp中的N個(gè)值為：{exp( - 2irrnplt)（n=0，1,2，…．N-1）}，這里t是DFrFT的周期，N是自然整數(shù)。

引入LCG隨機(jī)化本征向量v，即隨機(jī)化了DFrFT的核矩陣HP。LCG的遞推關(guān)系為：

其中：n=1，2，…；模數(shù)M為大的正整數(shù)。初值xo(0≤xo<M)，乘數(shù)a(0≤a<M)和增域b(0≤b<M)為L(zhǎng)CG的3個(gè)參數(shù)。利用LCG生成的偽隨機(jī)序列，重構(gòu)一個(gè)2維隨機(jī)矩陣R，并通過(guò)計(jì)算得到一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)稱(chēng)矩陣S：

數(shù)值計(jì)算矩陣Is的歸一化本征向量，得到實(shí)數(shù)的本征向量V，S是對(duì)稱(chēng)的隨機(jī)矩陣，由它計(jì)算得到的本征向量矩陣相互正交，且具有隨機(jī)性。矩陣s與H滿(mǎn)足乘機(jī)交換關(guān)系HS=SHi'，它們具有栩同的本征向量；隨機(jī)化的y作為DF-rF1’的本征向量矩陣，也即隨機(jī)化了DFrFT的核矩陣，從而得到隨機(jī)DFrFT隨機(jī)DFrFT有FrFT良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，且具有變換譜能量均勻分布和半劇期實(shí)數(shù)化的特點(diǎn)，這對(duì)圖像加密來(lái)說(shuō)十分有益。

原始圖像通過(guò)由對(duì)數(shù)一極坐標(biāo)變換和隨機(jī)DFrFT構(gòu)造的隨機(jī)FrMT。完成圖像像素值和位置的雙重加密，得到類(lèi)白噪聲的密文，分?jǐn)?shù)階p和LCG的參數(shù)（x0，a，b）作為加密算法的密鑰。對(duì)于實(shí)際輸人信號(hào)，隨機(jī)分?jǐn)?shù)傅立葉變換的輸出結(jié)果是實(shí)值的，可節(jié)省密文的存儲(chǔ)空間，減輕傳輸負(fù)擔(dān)。密文的解密過(guò)程通過(guò)隨機(jī)FrMT的逆變換完成。

二、加密算法統(tǒng)計(jì)分析

模擬中分?jǐn)?shù)階次P= 0.5，線(xiàn)性同余函數(shù)的參數(shù)xo=100，a= 16807，b=7，M=231-1。圖2(a)為255×255的原始圖像Lena。圖2(b)為加密結(jié)果，是類(lèi)似于噪聲圖像的實(shí)值信息，利于密文存儲(chǔ)與傳輸。圖2(c)為L(zhǎng)ena的直方圖，圖2(d)是密文的直方圖，相比原圖的直方圖明顯變平滑了，密碼分析者可以通過(guò)統(tǒng)計(jì)特性獲得原始圖像的特征。

為了說(shuō)明加密算法符合經(jīng)典密碼理論中的混淆與擴(kuò)散思想，在密鑰相同的條件下，用本加密算法加密圖3(a)所示的圖像Baboon，圖3(b)為其直方圖。

與Lena的直方圖明顯不同，統(tǒng)計(jì)特性完全不同。密文直方圖如圖3(c)，與圖2(d)相比，對(duì)不同統(tǒng)計(jì)特性圖像加密后得的密文具有相類(lèi)似的直方圖，加密算法可有效抵抗統(tǒng)計(jì)分析攻擊。 相鄰像素的相關(guān)性反映像素的擴(kuò)散程度，原始圖像的水平、垂直和對(duì)角方向的栩鄰像素具有很高的栩關(guān)性，安全的加密算法得到的密文相鄰像素相關(guān)性要盡可能小。表1給出了明文和密文圖像在水平、垂直和對(duì)角線(xiàn)方向上相鄰像素的相關(guān)系數(shù)。

圖4(a)和4(b)分別為明文和密文在水平方向上相鄰像素的相關(guān)性分布圖。從相關(guān)系數(shù)表和相關(guān)性分佑圖可知，密文的相關(guān)性顯著弱于原圖的相關(guān)性，無(wú)法通過(guò)相關(guān)性分析由少量圖像信息恢復(fù)明文。

三、加密算法安全性分析

算法的密鑰為DFrFT的分?jǐn)?shù)階和LCG的3個(gè)參數(shù)，所有密鑰正確時(shí)，解密的結(jié)果如圖5(a)所示。

衡量解密圖像和原始圖像的相似程度一般采用均方誤差(Mean Square Error．MSE)，MSE=3(X)O作為閥值，當(dāng)均方誤差低于此闕值時(shí)，幾乎可以恢復(fù)原始圖像。均方誤差定義為：

其中：M×N為圖像的大小，h1(i，j)和h2(i，j)分別代表原圖和解密圖像的灰度值。 圖5(c)對(duì)應(yīng)FrMT和隨機(jī)FrMT計(jì)算了分?jǐn)?shù)階密鑰的MSE，進(jìn)行了靈敏度對(duì)比o當(dāng)分?jǐn)?shù)階沒(méi)有偏差，即p=0.5時(shí)，MSE值為0。常規(guī)FrMT的MSE曲線(xiàn)p=0.1或p=0.9時(shí)，對(duì)應(yīng)的MSE值才達(dá)到閾值，分?jǐn)?shù)階靈敏度不高，只能作為輔助密鑰，還需設(shè)計(jì)主密鑰達(dá)到加密所需的安全指標(biāo)。隨機(jī)FrMT在p有微小偏差時(shí)，MSE曲線(xiàn)迅速上升到3 000以上。圖5(b)是p=0.505時(shí)對(duì)應(yīng)的解密圖像，有相當(dāng)強(qiáng)的噪聲。隨機(jī)化后FrMT的分?jǐn)?shù)階密鑰靈敏度大幅提高，密鑰空間巨大，窮舉攻擊很難成功，完全可以作為加密算法的主要密鑰。 為了說(shuō)明LCG參數(shù)密鑰的安全性，引入偏差量△，圖6(a)、(b)和(c)表示3個(gè)參數(shù)x0，a和b分別偏差△=1時(shí)對(duì)應(yīng)的解密圖像。LCG參數(shù)作為密鑰的MSE曲線(xiàn)如圖6(d)所示，由圖可知，任何一個(gè)LCG參數(shù)的偏差量|△|≥1時(shí)，MSE>3000。3個(gè)參數(shù)作為密鑰具有幾乎相同的離靈敏度，擁有巨大的密鑰空間，能有效抵抗窮舉攻擊。

圖像處理和傳輸過(guò)程中會(huì)有噪聲的影響，所以算法抵抗噪聲的倍棒性很重要。將均值為0，方差為0.1的高斯噪聲G加入密文E。噪聲干擾后加密圖像振幅為E’，表示為：

其中k是噪聲強(qiáng)度的系數(shù)。對(duì)應(yīng)k的變化，解密圖像的MSE變化如圖7所示。

高斯噪聲強(qiáng)度k=0.5和k=1時(shí)，攻擊后的解密圖像MSE值分別為400和1200，兩昔的值遠(yuǎn)小于閾值，表明加密算法具有良好的抗噪聲攻擊能力。

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