為了實現(xiàn)光學(xué)圖像的非線性加密，設(shè)計了一種基于隨機分數(shù)梅林變換的光學(xué)圖像加密方法，構(gòu)造了相應(yīng)的光學(xué)加密裝置。該裝置采用混沌映射生成一對共軛隨機相位掩模放置于分數(shù)傅里葉變換光學(xué)裝置的兩端，對分數(shù)傅里葉變換的核函數(shù)進行隨機化處理，得到隨機分數(shù)傅里葉變換。隨機分數(shù)梅林變換由對數(shù)一極坐標變換和隨機分數(shù)傅里葉變換組成，光學(xué)圖像經(jīng)隨機分數(shù)梅林變換得到復(fù)值密文，從而完成圖像的像素值和像素點位置的雙重加密。

一、光學(xué)圖像加密系統(tǒng)

1、分數(shù)梅林變換

其中：Kp(x，y，u，v)=Kp(x，u)Kp（y，v）。利用透鏡的聚焦效應(yīng)和菲涅耳衍射效應(yīng)相互平衡實現(xiàn)二維FrFT。

其中：C為常數(shù)。FrMT的一種快速實現(xiàn)方法是將f(x，y)由笛卡爾坐標系轉(zhuǎn)換到對數(shù)一極坐標中，冉對轉(zhuǎn)換結(jié)果實施FrFT，即：

對數(shù)一極坐標變換定義如下：

對數(shù)一極坐標變換決定了分數(shù)梅林變換具有非線性屬性。

2、光學(xué)圖像文件加密過程

在經(jīng)典的雙隨機相位光學(xué)加密技術(shù)中，相位掩模如果在傳輸或保存中損壞或丟失，就無法對加密信息進行解密，這限制了其在實際中的應(yīng)用。合理的方法是用密鑰序列生成器生成加密掩模，解密者只要知道密鑰序列生成器的參數(shù)就能重構(gòu)解密相位掩模。這樣，密鑰序列生成器就成為設(shè)計關(guān)鍵。密鑰序列隨機性越強，密碼分析就越困難。Kent映射對初值具有高度敏感的特性，其混沌序列具有類隨機性、遍歷性和均勻分布的特性，是一個典型的密鑰序列生成器，系統(tǒng)方程為：

其中：O<a<1，當x0∈[o，1]，n≥1時xn∈[o，1]。

我們用Kent混沌序列xn重構(gòu)一個在[O，1]中均勻分布的二維隨機數(shù)組Q，運用空問光調(diào)制器將Q調(diào)制成一對共軛的隨機相位掩模，即：R= exp[i2πQ]，R‘=exp[-i2πQ]。將R和R‘分別放在透鏡的輸入和輸出平面，實現(xiàn)FrFT核函數(shù)的隨機化處理，構(gòu)造的隨機FrFT表示為：

其中：kpr(x，y，u，v)=R(x,y)Kp(x，y,u，v)R‘(u，v)。

根據(jù)式(4)，定義隨機分數(shù)梅林變換為：

基于隨機分數(shù)梅林變換的加密光路圖，f(x，y)是待加密的圖像，濾波器H用于實現(xiàn)f(x，y)的對數(shù)-極坐標變換；一對共軛的相位掩模R、R’和透鏡Lens組成隨機FrFT，原始網(wǎng)像經(jīng)FI1對數(shù)一極坐標變換和隨機FrFT構(gòu)成的隨機FrMT進行圖像的像素值和像素點位置的雙重加密，直接得到復(fù)值密文g(u，v)。分數(shù)階戶和Kent映射的初值x0作為加密系統(tǒng)的密鑰。

密文的解密過程H‘是與H共軛的濾波器

二、統(tǒng)計特性分析

為了驗證所提出方法的可行性，在Matlab平臺上對提出的方法進行了計算機模擬仿真，用直方圖和像素相關(guān)性分布圖對仿真結(jié)果進行了分析。數(shù)值模擬時，分數(shù)階次p=0.5，Kent映射的初值x0=0.5，a=0.4。原始待加密圖像分別為復(fù)值密文的振幅和相位分布圖，它們類似于噪聲圖像。原始圖像的直方圖，密文振幅的直方圖。與原圖的直方圖相比，明顯變平滑了，密碼分析者難以通過統(tǒng)汁特性獲得原始圖像的特征。

雪崩效應(yīng)是衡量圖像加密安全性的一個重要標準，嚴格雪崩效應(yīng)指出，當改變明文或密鑰中的任意1位，幾乎所有的密文數(shù)據(jù)位將發(fā)生變化。實驗中將明文(10，10)處的灰度值由170改為171，當密文數(shù)據(jù)保留有效位數(shù)分別為5位和6位時，測得的密文像素值分別改變了55.69%和84. 92%。改變明文中任意位置的1位灰度值i測試結(jié)果相近，說明密文數(shù)據(jù)位基本都有不同程度的改變，算法有較強的明文敏感性。

為了說明加密方法符合經(jīng)典密碼理論中的混淆與擴散思想，在密鑰相同的條件下，用本方法加密所示的圖像ILena。直方網(wǎng)明顯不同。密文直方圖如圖4(c)所示，與圖3(e)比較，可以看到，不同統(tǒng)計特性的圖像獲得的密文具有類似的直方圖。在進行大量類似實驗后，可以得出這樣的結(jié)論：具有不同直方圖的圖像其密文具有相似的直方網(wǎng)，攻擊者難以通過統(tǒng)計特性進行密碼分析而獲得密鑰信息，因此，加密方法可有效抵抗統(tǒng)計分析攻擊。

相鄰像素的相關(guān)性反映像素的擴散程度，原始圖像的水平、垂直和對角方向的相鄰像素具有很高的相關(guān)性，而安全的加密方法得到的密文相鄰像素相關(guān)性要盡可能小b表1給出了明文和密文圖像在水平、垂直和對角線方向上桕鄰像素的栩關(guān)系數(shù)。圖5為明文和密文在水平方向上相鄰像素的相關(guān)性分布網(wǎng)。從相關(guān)系數(shù)表和相關(guān)性分布圖可知，密文的相關(guān)性顯著弱于原圖的相關(guān)性，無法通過相關(guān)性分析由少量圖像信息恢復(fù)明文。

三、加密安全性分析

一般采用均方誤差( Mean Square Error．MSE)來衡垃解密圖像和原始圖像的相似程度，通常取MSE=3=000作為闕值，當均方誤差低于此闕值時，可以部分恢復(fù)原始圖像。均方誤差定義為：

其中：MXN為圖像的大小，h1（i，j）和h2(i，j)分別代表原圖和解密圖像的厭度值。

1、密鑰安全性分析

加密系統(tǒng)的密鑰為Kent映射的初值x0和FrMT的分數(shù)階戶，為了驗證選取Kent映射初值作為密鑰的安全性，設(shè)分數(shù)階密鑰P正確，分析如在[O，1]之間變化對應(yīng)解密圖像的MSE曲線，如圖6所示，結(jié)果顯示，x0作為密鑰靈敏度非常高，擁有巨大的密鑰空間，能有效抵抗窮舉攻擊。實驗中引入偏差縫△對比兩幅解密圖像，當△=1×10-16時，即x0由0.5增大到0.500 000 000 000 0001時，MSE由47.8增大到10558。遠大于解密閉值，均方誤差放大了221倍，密鑰微小的改變使得密文的數(shù)據(jù)發(fā)生了巨大變化。

圖7對分數(shù)階密鑰p計算了解密網(wǎng)像的MSE曲線。圖中兩幅解密圖對比了不同的偏差量對解密效果的影響。當P的偏差為±0.001時，解密圖像MSE達到382.4，還可以解密出較清晰的原始圖像；當P的偏差為0.003 5時，解密圖像的MSE到達閾值，解密圖像有相當強的噪聲，不能還原原始圖像。隨機FrMT分數(shù)階密鑰有微小偏差時，MSE曲線上升很快，說明將變換階次作為密鑰有較高的靈敏度，使得窮舉攻擊很難成功，完全可以作為加密系統(tǒng)的主要密鑰。

2、魯棒性分析

圖像處理和傳輸過程中都會有噪聲的影響，所以加密系統(tǒng)的魯棒性很重要。將均值為零，方差為0.1的高斯噪聲N加入密文E中，加入噪聲干擾后加密圖像的復(fù)值密文為E'：

其中：k是噪聲強度系數(shù)。走變化時，解密圖像MSE的變化曲線如圖8所示。圖中給出的兩幅圖像分別對應(yīng)原始圖像受到強度為k=0.5和k=1的噪聲攻擊后的解密圖像。它們的MSE值分別為230和820，都遠小于闕值，這表明加密系統(tǒng)具有良好的抗噪聲攻擊能力。

密文被裁剪1/4后的解密結(jié)果，圖9(b)為密文被戡剪1/2后的解密結(jié)果，圖像的大部分信息依舊能夠恢復(fù)，該系統(tǒng)具有良好的抗裁剪攻擊能力。

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