為了提高混沌系統(tǒng)的復(fù)雜性和偽隨機(jī)性，通過(guò)分析和改進(jìn)常用的經(jīng)典混沌系統(tǒng)，我們?cè)O(shè)計(jì)了一種變參混沌系統(tǒng)，理論分析與仿真測(cè)試結(jié)果表明其具有更好的混沌特性。并對(duì)傳統(tǒng)的基于混沌的數(shù)字圖像加密算法進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種基于變參混沌系統(tǒng)的圖像雙重置換加密算法，將這種變參混沌系統(tǒng)應(yīng)用于數(shù)字圖像像素位置與像素值雙重置換的加密算法中。

一、一種新型變參混沌系統(tǒng)

1、變參混沌系統(tǒng)定義

本文提出的變參混沌系統(tǒng)即對(duì)固定分形參數(shù)的混沌系統(tǒng)進(jìn)行改進(jìn)和綜合設(shè)計(jì)，其根本思想是將混沌系統(tǒng)中的分形參數(shù)設(shè)為變量，在加密過(guò)程中其分形參數(shù)隨時(shí)間變化而在一定范圍內(nèi)變化，這樣將極大擴(kuò)寬密鑰空間，提升安全性。變參混沌映射定義：

其中a為參數(shù)，控制混沌序列的變化幅值，Xn[O，a]，而分形參數(shù)bn不固定，設(shè)為時(shí)變參數(shù)，且服從如下的混沌映射：

u為參數(shù)。

二、變參混沌系統(tǒng)性能分析

本文在變參混沌系統(tǒng)性能分析仿真實(shí)驗(yàn)中均取參數(shù)a=4，u=4，為測(cè)試其對(duì)初值的極端敏感性，取兩個(gè)相差極為細(xì)微的初值b1=0.8851111與b2=0.885 1112，由式(1)和式(2)分別迭代2000次，生成兩組混沌序列X1和X2，其差值隨迭代次數(shù)變換的部分波形圖如圖1所示。

很顯然兩個(gè)非常接近的初值在迭代12次時(shí)開(kāi)始分叉，且函數(shù)值差異很大，兩組混沌序列X和X2的運(yùn)動(dòng)軌跡毫無(wú)聯(lián)系。同樣取Chebyshev混沌系統(tǒng)的兩個(gè)相差細(xì)微的初值c1=0.8851111與C2=0.8851112，取其分形參數(shù)co=4，分別迭代2000次，構(gòu)成兩組Chebyshev混沌序列C1和C2，其差值隨迭代次數(shù)變換的部分波形如圖2所示。

兩個(gè)相差甚微的初值經(jīng)過(guò)迭代18次時(shí)開(kāi)始分叉，兩組混沌序列C1和C2運(yùn)動(dòng)軌跡變得毫不相干，本文提出的變參混沌序列只需迭代12次則開(kāi)始出現(xiàn)分叉，而Chebyshev混沌序列在同樣的初值情況下卻需要迭代18次才開(kāi)始分叉，將其參數(shù)改變進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)，均能得出類似的結(jié)論。這表明：本文提出的變參混沌系統(tǒng)對(duì)初值具有極端的敏感性，而且還要優(yōu)于Chebyshev混沌系統(tǒng)?；煦缧蛄形宓牟ㄐ螆D圖3表明：變參混沌系統(tǒng)具有類似白噪聲的性質(zhì)，而且分散程度比較高。

為對(duì)迭代產(chǎn)生的混沌序列進(jìn)行性能分析，通過(guò)一個(gè)閾值函數(shù)B將離散的實(shí)數(shù)值混沌序列轉(zhuǎn)換成二值序列，B函數(shù)定義：

其中{xi}為實(shí)數(shù)值混沌序列，u為{xi}序列均值，則{Bi}序列為二值隨機(jī)序列。為對(duì)隨機(jī)O、1二值序列{Bi}進(jìn)行隨機(jī)性測(cè)試，應(yīng)采用一些公認(rèn)的科學(xué)合理的測(cè)試標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行測(cè)試，本文采用美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)研究所(NIST)制定的FIPS PUB 140-2標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行測(cè)試。每個(gè)二值序列的長(zhǎng)度為20 000位，經(jīng)過(guò)單位測(cè)試實(shí)驗(yàn)，其測(cè)試的結(jié)果如表1所示（統(tǒng)計(jì)1的個(gè)數(shù)），由實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明其二值序列通過(guò)單位測(cè)試，具有良好的隨機(jī)性。任取6個(gè)不同的初值，由變參混沌系統(tǒng)生成6個(gè)不同的二值序列，進(jìn)行撲克測(cè)試結(jié)果如表2所示，顯然均通過(guò)撲克測(cè)試。分析游程特性時(shí)，與幾個(gè)經(jīng)典混沌系統(tǒng)生成的序列進(jìn)行比較測(cè)試，仿真實(shí)驗(yàn)的測(cè)試結(jié)果如表3所示。經(jīng)過(guò)對(duì)表中數(shù)據(jù)詳細(xì)分析比較，游程長(zhǎng)度最好的是Chebyshev混沌序列，其次是本文提出的變參混沌序列，其游程特性要優(yōu)于Logistic混沌序列和Tent混沌序列。滿程測(cè)試中，游程長(zhǎng)度大于25的長(zhǎng)游程為O，變參混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的二值序列顯然通過(guò)長(zhǎng)游程測(cè)試。移位特性的測(cè)試結(jié)果如表4所示，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示變參混沌序列的移位特性略遜于Logistic混沌序列，而要優(yōu)于Chebyshev混沌序列和Tent混沌序列。

譜分析是尋找混沌特性的—個(gè)重要方法，列初值b1=0.921111生成的變參混沌序列進(jìn)行功率譜分析，其功率譜如圖4所示。從功率譜密度圖來(lái)看，其功率譜是類似寬帶噪聲的連續(xù)譜，這證實(shí)系統(tǒng)具有明顯混沌特征。

經(jīng)過(guò)對(duì)本文所提出的變參混沌系統(tǒng)進(jìn)行性能測(cè)試，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明其是典型的混沌系統(tǒng)，且其一些性能指標(biāo)要優(yōu)于傳統(tǒng)的混沌系統(tǒng)。

三、加密與解密算法具體實(shí)現(xiàn)

基于變參混沌系統(tǒng)的數(shù)字圖像雙重置換的加密算法有兩個(gè)過(guò)程，首先對(duì)像素位置進(jìn)行置換，再進(jìn)行像素值的置換，從而得到密圖，設(shè)原數(shù)字圖像大小為m,n。

第一步對(duì)數(shù)字圖像像素位置進(jìn)行置換的算法如下：

(1)將數(shù)字圖像矩陣Am，n按行掃描轉(zhuǎn)換成一維序列I{I1, I2,Im,n}。

(2)利用變參混沌系統(tǒng)產(chǎn)生—個(gè)混沌序列V{V1,V2,Vm,n}，且與I{I1, I2,Im,n}中的元素一一對(duì)應(yīng)。

(3)將混沌序列V{V1,V2,Vm,n}由小到大排序，形成有序序列V'{V'1,V'2,V'm,n}，由于V'{V'1,V'2,V'm,n}與I{I1, I2,Im,n}中的元素一一對(duì)應(yīng)，I{I1, I2,Im,n}也由同樣的置換規(guī)則置換成I'{I1', I2',I'm,n}。

(4)將I'{I1', I2',I'm,n}按順序每m個(gè)元素構(gòu)成一行，從而重構(gòu)二維矩陣Bm,n，即為經(jīng)過(guò)像素位置加密后的圖像矩陣。

第二步對(duì)數(shù)字圖像像素值進(jìn)行置換的算法如下：

(1)構(gòu)造—個(gè)長(zhǎng)度為m’，z的一維序列G{Go，G1，... ，Gm，n-1），令Go=O，G1=1，…，Gm-n-1=m’n-1。

(2)用變參混沌系統(tǒng)產(chǎn)生另—個(gè)混沌系統(tǒng)V{VO，V2，，Vm‘n-1），并且與序列G{Go，G1，... ，Gm，n-1）中的元素一一對(duì)應(yīng)，即V與Gk對(duì)應(yīng)。

(3)將混沌序列V{VO，V2，，Vm‘n-1）由小到大排序，形成有序序列V’{V‘O，V’2，，V‘m‘n-1），由于V’{V‘O，V’2，，V‘m‘n-1）與G{Go，G1，... ，Gm，n-1）中的元素一一對(duì)應(yīng)，G{Go，G1，... ，Gm，n-1）也由同樣的置換規(guī)則置換成G{Go，G1，... ，Gm，n-1）。

(4)將Bm，n（表示經(jīng)過(guò)像素位置置換所得加密圖像矩陣）中的像素值進(jìn)行置換加密，具體置換規(guī)則：對(duì)Bm，H任意像素點(diǎn)的像素值bij，取G'{G'o，G'1，... ，G'm，n-1）序列中對(duì)應(yīng)元素G’膏，其中k= (i-1)’m+j，令Pk=G'kmod 256，再將Pk與bi進(jìn)行異或運(yùn)算得Hk，即為bij置換后的像素值。

(5)重復(fù)(4)，對(duì)Bm，n的所有元素bij進(jìn)行像素值置換，得到矩陣Hm，n即為經(jīng)過(guò)像素位置與像素值雙重混沌置換后的加密圖像矩陣。本算法極易擴(kuò)展到彩色圖像的加密，只需在(4)和(5)過(guò)程中分別對(duì)bij的R、G、B分量進(jìn)行像素值的置換即可。

解密過(guò)程與加密過(guò)程正好互逆，根據(jù)加密算法設(shè)計(jì)，易得具體的解密算法。

四、加密效果評(píng)價(jià)

1、加密效果圖

原數(shù)字圖像圖5 (a)只經(jīng)過(guò)像素位置置換得加密圖5(b)，圖5(C)為只經(jīng)過(guò)像素值置換的加密圖，而圖5 (d)則為經(jīng)過(guò)像素位置與像素值雙重置換的加密圖。

由圖5可以得出：經(jīng)過(guò)像素位置與像素值雙重置換加密所得密圖像素分布均勻，已覆蓋了原圖像的人物輪廓，無(wú)法得出原圖像的細(xì)節(jié)信息，其加密效果良好，安全性更高。

2、直方圖分析

原圖像圖5 (a)的直方圖如圖6(a)所示，只經(jīng)過(guò)像素位置置換的加密圖5(b)的直方圖如圖6(b)所示，而只經(jīng)過(guò)像素值置換的加密圖5 (c)的直方圖則如圖6(c)所示，圖6(d)為雙重置換的加密圖5(d)的直方圖。

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明：變參混沌系統(tǒng)的雙重置換加密圖的直方圖與原圖像的直方圖有很大變化，而且密圖的直方圖分布比較均勻，從而很大程度上增強(qiáng)抵御統(tǒng)計(jì)攻擊的能力。

3、抗裁減分析

圖7(a)顯示加密圖受到裁剪攻擊，受攻擊面積約為整個(gè)圖像的1/2，其解密所得的圖像如圖7(b)所示。當(dāng)加密圖受到如圖7(c)所示的面積約為整個(gè)圖像的1/5的裁剪攻擊時(shí)，其解密圖像如圖7(d)所示。這表明：加密圖受到不同程度的裁剪攻擊，本算法解密圖像微有噪聲，但并不明顯影響圖像的整體效果，因此本算法具有很強(qiáng)的抗裁剪性。

4、抗噪聲實(shí)驗(yàn)

在加密圖中加入各種參數(shù)的高斯白噪聲(m表示均值，σ表示方差)，其抗噪聲效果如圖8所示。由此可見(jiàn)，受到噪聲污染的密圖像基本能夠恢復(fù)出原圖，表明本算法抗噪聲能力很強(qiáng)。

5、密鑰分析

圖9（a）是原圖像，圖9(b)是用正確密鑰解密的效果圖（其密鑰與圖5中的密鑰一致），圖9(c)與圖9（d）是使用錯(cuò)誤密鑰進(jìn)行解密的效果圖。錯(cuò)誤解密密鑰與正確的加密密鑰相差甚微，解密后的圖像不具有原圖像的任何信息。以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)充分表明本算法對(duì)密鑰具有極強(qiáng)的敏感性，因此安全性是很高的。本加密算法的密鑰為K=(Xc，u)，若所選變參混沌系統(tǒng)初值XO的精度為小數(shù)點(diǎn)后10，由于算法中一共用到4個(gè)混沌序列，更極大地?cái)U(kuò)展了密鑰空間，密鑰空間有1010’ 1010‘1010 ’1010= 1040，XO可以取(0 1)之間的任何值，如精度提高，則其密鑰空間將會(huì)進(jìn)一步擴(kuò)展。因此，本算法具有極強(qiáng)的抗強(qiáng)力攻擊能力，使得對(duì)密鑰的窮舉攻擊變得不可行。

小知識(shí)之置亂

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