隨著Internet技術(shù)與多媒體技術(shù)的飛速發(fā)展，多媒體通信逐漸成為人們進(jìn)行信息交流的重要手段。與此同時(shí)，圖像數(shù)據(jù)的安全性變得越來越重要。在各種不同的圖像加密技術(shù)中，基于混沌理論的加密技術(shù)，正成為圖像加密研究的熱點(diǎn)。那么我們以Logistic混沌系統(tǒng)為基礎(chǔ)，提出了一種新的圖像加密算法，通過實(shí)驗(yàn)分析表明，該算法具有良好的加密性能。

一、Logistic混沌系統(tǒng)

混沌是一種非線性動(dòng)力學(xué)規(guī)律控制的行為，表現(xiàn)為對(duì)初始值和系統(tǒng)參數(shù)的敏感性、白噪聲的統(tǒng)計(jì)特性和區(qū)間遍歷特性，具有很好的密碼學(xué)特性。

一個(gè)一維離散時(shí)間非線性動(dòng)力系統(tǒng)定義如下：

其中，xk∈V（k=0，1，2，…），稱為狀態(tài)；而τ：V→V是一個(gè)映射，將當(dāng)前狀態(tài)xk映射到下一個(gè)狀態(tài)xk+1。如果從一個(gè)初始值x0開始，反復(fù)應(yīng)用τ就得到一個(gè)序列{xk}，k=0，1，2，…，這一序列稱為該離散時(shí)間動(dòng)力系統(tǒng)的一條軌跡。

一類非常簡(jiǎn)單卻被廣泛研究的動(dòng)力系統(tǒng)是Logistic映射，其定義如下：

其中，0≤μ≤4稱為分枝參數(shù)，xk∈（0，1），定義同上。混沌動(dòng)力系統(tǒng)的研究工作指出，當(dāng)3.5699456…<μ≤4時(shí)，Logistic映射工作于混沌態(tài)。也就是說，由初始條件x0在Logistic映射的作用下所產(chǎn)生的序列{xk}，k=0，1，2，…是非周期的、不收斂的并對(duì)初始值非常敏感。對(duì)于一般的混沌映射xk+1=f（xk），概率密度ρ（x）可由Perron-Froenious方程得到，即：

當(dāng)μ=4，則Logistic映射所生成的序列的概率分布函數(shù)為：

Logistic映射所產(chǎn)生的混沌序列軌跡點(diǎn)的均值是：

對(duì)于相關(guān)性，獨(dú)立選取兩個(gè)初始值x0和y0，則相應(yīng)序列的互相關(guān)函數(shù)為：

而序列的自相關(guān)函數(shù)值趨向于0，類似于δ函數(shù)，接近白噪聲的特征。

Logistic序列的以上特性表明，盡管混沌動(dòng)力系統(tǒng)具有確定性，但其遍歷統(tǒng)計(jì)特性接近于白噪聲，并具有形式簡(jiǎn)單，對(duì)初始條件敏感等諸多特性。

二、基于混沌序列的異或矩陣

1、異或矩陣的構(gòu)造

由于灰度圖像一般為256級(jí)，其值在0~255之間，為此，要將混沌序列做一些適當(dāng)?shù)男拚?，把?，1）區(qū)間上的值映射到集{0，1，2，…，255}，這可由MATLAB7.0中的floor（）函數(shù)來完成，即：

其中xi是由式（1）通過迭代所得到的混沌序列，floor（）函數(shù)為向負(fù)方向舍入取整函數(shù)。這樣，由混沌實(shí)數(shù)列和floor（）函數(shù)可得到整數(shù)序列x′1，x′2，x′3…其中xi′∈{0，1，2，…，255}，i=1，2，…。

對(duì)于給定異或矩陣的大小m1×n1（m1、n1為大于1的整數(shù)）和給定的正整數(shù)k，在所得的整數(shù)列x′1，x′2，x′3…中依次選取x′k+1，x′k+2，…，x′k+m1×n1，并將它們按長(zhǎng)度n1逐段截取，排成加密矩陣Pkm1×n1，其中pi，j∈{0，1，2，…，255}，i=1，2，…，m1；j=1，2，…，n1。

2、利用異或矩陣對(duì)圖像加密/解密

異或加密算法可看作如下函數(shù)：

其中，Cm1×n1為待加密矩陣，Pkm1×n1為異或矩陣，“+”為兩個(gè)矩陣中對(duì)應(yīng)像素值的逐比特異或運(yùn)算。異或解密算法可看作如下函數(shù)：

三、基于混沌序列的置換矩陣

1、置換矩陣的構(gòu)造

對(duì)于給定置換矩陣的大小m2×n2（m2、n2為大于1的整數(shù)）和給定的正整數(shù)k，在整數(shù)列x′1，x′2，x′3…中依次選取x′k+1，x′k+2，…，x′k+m2×n2，組成一個(gè)長(zhǎng)度為m2×n2的序列，對(duì)此序列按從小到大的順序進(jìn)行排序，由各個(gè)元素位置的變化可以得到一個(gè)排序置換，此置換可以在MATLAB7.0中利用排序函數(shù)“sort（）”直接得到，其長(zhǎng)度為m2×n2，將此置換序列按長(zhǎng)度n2逐段截取，并排成置換矩陣Zkm2×n2，其中zi，j∈{1，2，3，…，m2×n2}，i=1，2，…，m2；j=1，2，…，n2。

2、置換方法置換算法

可簡(jiǎn)單地看作如下函數(shù)：

其中，Am2×n2為待加密矩陣，Zkm2×n2為置換矩陣，在Zkm2×n2中，若zi，j=r，且r=p×n2+q，則將Ap，q的值賦給Bi，j，其中i=1，2，…，m2；j=1，2，…，n2；p∈{0，1，…，m2-1}，q∈{1，2，…，n2}，r∈{0，1，2，…，m2×n2}。

四、基于混沌序列的圖像加密/解密算法

1、加密算法算法步驟如下

（1）選取密鑰K=（x0，μ0，k1，k2，m1，n1，m2，n2），其中，x0∈（0，1），3.5699456…<μ0≤4；k1、k2、m1、n1、m2、n2均為正整數(shù)，且m1與m2不能互相整除，n1與n2不能互相整除，令k=k1；

（2）對(duì)于一個(gè)圖像的像素矩陣F，令M=mul（m1，m2），N=mul（n1，n2）（其中mul（x，y）表示x與y的最小公倍數(shù)），在圖像矩陣的邊界填充像素值255（白色），增加F的行數(shù)和列數(shù)，使它們分別是M和N的整數(shù)倍，設(shè)生成的圖像像素矩陣為F1；

（3）利用密鑰和Logistic映射分別產(chǎn)生異或矩陣Pkm1×n1和置換矩陣Zkm2×n2；

（4）將像素矩陣F1按m1×n1的大小進(jìn)行分塊，并利用異或矩陣Pkm1×n1進(jìn)行逐塊加密，將得到的加密分塊再組合成像素圖像，設(shè)其為F2；

（5）將像素矩陣F2按m2×n2的大小進(jìn)行分塊，并利用置換矩陣Zkm2×n2進(jìn)行逐塊置換，將得到的加密分塊再組合成加密圖像，設(shè)其為G；

（6）令k=k2，重復(fù)步驟（3）~（5）。

2、解密算法

解密算法是加密算法的逆運(yùn)算，在解密算法中，首先令k=k2，異或矩陣與加密中的異或矩陣相同，置換矩陣是加密算法中置換矩陣的逆置換，在解密圖像的過程中，先進(jìn)行置換運(yùn)算，再進(jìn)行異或運(yùn)算。

五、仿真實(shí)驗(yàn)及算法分析

1、仿真實(shí)驗(yàn)

利用MATLAB7.0軟件，結(jié)合上述算法，對(duì)“l(fā)ena.jpg”圖像進(jìn)行了加/解密的仿真實(shí)驗(yàn)，密鑰選取為：K=（0.78354，4，10000，20000，50，50，8，8），結(jié)果如圖1所示。

圖1中，圖像“jiamihou.jpg”為圖像“l(fā)ena.jpg”的加密結(jié)果，顯然已看不出圖像“l(fā)ena.jpg”的任何信息，加密取得了較好的效果；圖像“jiemihou.jpg”為對(duì)圖像“jiamihou.jpg”的解密結(jié)果，通過比較得知，兩個(gè)圖像的像素值完全相同，說明文中提出的加密算法沒有任何信息丟失；圖像“cuomiyao.jpg”為x0=0.78355時(shí)的解密結(jié)果，顯然，對(duì)于x0僅僅相差0.00001時(shí)，由解密結(jié)果得不到圖像“l(fā)ena.jpg”的任何信息，說明該算法對(duì)x0具有高度的敏感性。

2、算法分析

（1）該算法的密鑰為K=（x0，μ0，k1，k2，m1，n1，m2，n2），x0可以取值于（0，1）之間的任何值，其密鑰空間無窮大，μ0、k1、k2、m1、n1、m2、n2的不確定，更極大地增加了密鑰空間，從而，對(duì)密鑰K的窮舉攻擊變得不可行。

（2）算法中異或矩陣的使用，較好地增強(qiáng)了圖像加密效果，但是異或矩陣的安全性很低，經(jīng)不起唯密文攻擊，更經(jīng)不起已知或選擇明文攻擊；然而，置換矩陣對(duì)攻擊者來說是未知的，故它具有較強(qiáng)的抗差分攻擊和抗線性攻擊的能力，從而較好地增強(qiáng)了整個(gè)算法的安全性；異或矩陣和置換矩陣的先后使用，使得整個(gè)加密算法既有較好的加密效果，又有較強(qiáng)的安全性。

（3）k1、k2的不同，使得兩個(gè)異或矩陣各不相同，進(jìn)一步增強(qiáng)了對(duì)圖像文件加密的效果；而它們的不同也使得兩個(gè)置換矩陣各不相同，從而極大地提高了整個(gè)算法的安全性。

以混沌理論為基礎(chǔ)，文章利用Logistic混沌映射給出了一種灰度圖像加密算法，通過仿真實(shí)驗(yàn)和分析表明，該算法具有較好的加密效果和較強(qiáng)的安全性。

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