結(jié)合分?jǐn)?shù)傅里葉變換及菲涅耳變換，在光學(xué)圖像文件加密系統(tǒng)中分別具有多密鑰性和無透鏡性的優(yōu)點，提出了基于分頻域和菲涅耳域的光學(xué)圖像加密方法。

一、加密原理

函數(shù)f(x，y)的二維分?jǐn)?shù)傅里葉變換的數(shù)學(xué)定義式為kαx(x，u)與kβy(y，u)分別為沿x和y方向的變換核；α與β分別為x和y方向的變換階數(shù)，c1為復(fù)常數(shù)。將(3)式中x和y分別替換為y和βy ，可以得到y(tǒng)方向的變換核和變換階數(shù)。如果利用分?jǐn)?shù)傅里葉變換進(jìn)行圖像加密，即在輸入平面為一個二維的光學(xué)圖像，則可以在x和y2個相互獨立的方向上對數(shù)據(jù)進(jìn)行加密。

輸入光學(xué)系統(tǒng)的信息函數(shù)為g(x0，y0)的菲涅耳變換表達(dá)式的定義為，波數(shù)K=2π/λ；z為菲涅耳變換距離；λ為光波波長。將積分式中的相位因子展開，整理后得到在波長和輸入、輸出平面距離確定的情況下，可以忽略常數(shù)相位因子。

因此，菲涅耳變換的離散化計算可以利用快速傅里葉變換算法提高程序的效率。

待加密圖像經(jīng)過平行光照射后，通過與輸入平面的隨機(jī)相位模板(Rand phasemask，RPM)相作用，經(jīng)x方向的變換透鏡作用到達(dá)平面P2，完成了x方向的分?jǐn)?shù)傅里葉變換。然后，經(jīng)過y方向的變換透鏡的作用后，在P3平面得到了經(jīng)過分?jǐn)?shù)傅里葉變換的輸出圖像。Lx和Ly分別為x方向和y方向的變換透鏡，設(shè)2個透鏡的變換階數(shù)分別為αx和βy，則P1平面和透鏡Lx所在平面之間的距離Z1以及P2平面和透鏡Ly所在平面之間的距離z2。

式中fx和fy分別為透鏡Lx和Ly的焦距。

令RPMi的相位函數(shù)為exp(iφ(x1，Y1))，則在輸出平面P3得到變換后的圖像。

這里，圖像經(jīng)過分?jǐn)?shù)傅里葉變換完成圖像的初步加密過程，密鑰的個數(shù)為3個。如果利用菲涅耳變換的無透鏡特性，使加密信息f(x3，y3)與另一RPM2作用后，再經(jīng)過距離為x3的菲涅耳變換，使系統(tǒng)的加密密鑰個數(shù)增加到了6個，在系統(tǒng)內(nèi)的光學(xué)元件（光學(xué)透鏡）沒有增加的基礎(chǔ)上，提高了系統(tǒng)的安全性能。

設(shè)RPM2的表達(dá)式為(exp(iφ3(x3,y3))，則經(jīng)過距離為z3的菲涅耳變換后加密的圖像函數(shù)fresz為距離為z3的菲涅耳變換算子。為了記錄加密圖像的相位信息，在輸出平面加入一束與輸入光相干的參考光，在P4平面上形成加密圖像的全息圖。設(shè)參考光為中A02是我們從通過產(chǎn)生光線的激光器的參數(shù)中得到的。

為了得到解密圖像，首先需要通過從激光器的參數(shù)及加密信息中得到f'（x4，y4，z）。根據(jù)光路的可逆性，將加密圖像的共軛圖像f'（x4，y4，z）*在原系統(tǒng)的輸出平面，經(jīng)過z3距離的菲涅耳變換和隨機(jī)相位模板RPM2的共軛作用后，再經(jīng)過變換階數(shù)為-αx和-βy的分?jǐn)?shù)傅里葉變換與RPMi的共軛作用，最后得到解密圖像。

二、安全性能分析

從上面的加密、解密過程可以看出，采用改良后的加密系統(tǒng)時，經(jīng)過分?jǐn)?shù)傅里葉變換后的圖像又經(jīng)過了距離為z3菲涅耳變換，因此，在不知道光波波長和菲涅耳變換距離的情況下不能正確解密圖像。

具體分析如下：

由(5)式和(6)式可以得出菲涅耳變換的過程，可以近似看作是信息函數(shù)g(xo，Yo)與相位因子相作用后的傅里葉變換譜。?由于相位因子是波長λ和變換距離z的函數(shù)，也就是說如果不知道正確的波長和變換距離，是不能得到正確的相位因子的。因此，解密時，如果使用的菲涅耳變換的距離和光波的波長不正確，那么將不能得到經(jīng)過分?jǐn)?shù)傅里葉變換加密后的圖像f(x3,y3)。假設(shè)不存在RPMz，則整個系統(tǒng)存在5個密鑰，分別是RPM1、2，λ，α和β，比單獨使用分?jǐn)?shù)傅里葉變換的加密系統(tǒng)多了2個密鑰(z和λ)，而此時整個加密系統(tǒng)并未增加任何光學(xué)元件。因此，由上面的分析可知，采用該系統(tǒng)比僅使用分?jǐn)?shù)傅里葉變換的加密系統(tǒng)多了幾重密鑰，大大提高了系統(tǒng)的安全性。

三、計算機(jī)模擬

在這里我們利用計算機(jī)模擬整個加密和解密的過程，以驗證這種方法的有效性．在整個模擬過程中，我們選擇一幅像素為256×256的圖像(如圖2(a))作為待加密圖像。分?jǐn)?shù)傅里葉變換的加密的階數(shù)我們選擇(0.4，0.7)，菲涅耳變換的距離為1m。

當(dāng)我們使用正確的解密階數(shù)(0.4，0.7)的時候可得到正確的解密圖像(圖2(c))。如果使用錯誤的解密階數(shù)(0.4.0.75)，(0.35，0.7)，將得不到正確的解密圖像(圖2(d)和(e))，但是解密階數(shù)正確。然而，菲涅耳變換距離不正確(z=0.8 m)的情況下(圖2(f))，同樣得不到正確的解密圖像，說明菲涅耳變換距離起到了密鑰的作用?？梢姡?dāng)一幅圖像經(jīng)過該系統(tǒng)加密后，只有在解密階數(shù)及菲涅耳變換距離完全吻合的情況下，才能得到正確的解密圖像。

一般地，我們通過輸入圖像和解密圖像之間的均方差(Mean square error，MSE)來驗證加密算法的可靠性。Io(i，j)和I1(i，j)分別代表在像素點(i，j)的原圖像和加密圖像的顏色數(shù)值，這里采用灰度圖像，每個像點用8表示，其最大值為255*NXN代表圖像所有的像素點的個數(shù)。由于分?jǐn)?shù)傅里葉變換在x方向和y方向的變換的獨立性和相似性，在保證y方向變換階數(shù)和菲涅耳變換距離正確的情況下，描繪MSE關(guān)于x方向變換階數(shù)的圖形如圖3所示。從圖3可以看出，在遠(yuǎn)離正確的解密階數(shù)的情況下MSE的值很大。另外，在變換階數(shù)從正確到錯誤變化開始時，其曲線的斜率也很大，這充分說明了這種算法的可靠性。

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