目前我們常用的圖像置亂加密基本上都是基于二維變換的，要達(dá)到較好的置亂效果，往往需要進(jìn)行多次操作，置亂效率不高。為達(dá)到較高的置亂效率，提出了一種新的三維Arnold變換和混沌序列相結(jié)合的圖像加密算法。

一、三維Arnold變換

假設(shè)某一圖像像素的坐標(biāo)位置為xy∈{1，2，…，N}，則二維Arnold變換可以定義為：

其中x’，y’表示經(jīng)過(guò)Amold變換后的圖像像素的坐標(biāo)位置，此變換稱為二維Arnold變換。可將二維Arnold變換擴(kuò)展成三維Arnold變換，其形式如下：

三維Arnold逆變換為：

其中矩陣c是矩陣A的逆矩陣，

則對(duì)應(yīng)的矩陣A的逆矩陣為:

三維Arnold變換與二維Arnold變換一樣，也具有周期性，即經(jīng)過(guò)若干次變換后，圖像又變換為原始圖像。表1列出了不同階數(shù)Ⅳ下二維與三維Arnold變換的周期丁。從表中可以看出，相同階數(shù)N的情況下，三維Arnold變換的周期總體上要大于二維Arnold變換的周期。

二、Logistic混沌映射

Logistic映射是由數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)家May于1976年提出的，其表達(dá)式為：

當(dāng)3.56994< &L≤4時(shí)，Logistic映射將處于混沌狀態(tài)。 三、圖像加解密算法 本文利用三維Arnold變換和Logistic混沌序列分別對(duì)圖像進(jìn)行置亂和異或操作，從而得到加密圖像，解密與加密過(guò)程相反口具體的加解密步驟如下： (1)選取一幅mxn的灰度圖像作為待加密圖像，獲得其二維矩陣數(shù)據(jù)P，并對(duì)圖像進(jìn)行如下轉(zhuǎn)換：找到一數(shù)值N，使得mXn=N3或mXn≈N3。若mXn的值不等于任何數(shù)值的三次方，則取最小N值，使得N3>mxn，然后按矩陣的行（列）順序讀取尸的元素并依次放至三維零矩陣B中，矩陣B的大小為N×N×N；

(2)將處理后的三維矩陣B的像素位置坐標(biāo)（x，y，z）代人方程(2)中，其中x,y,z∈（1，2，…，N)，做若干次三維Arnold變換得到置亂后的三維圖像信息矩陣Pl；

(3)選取合適的μ,x0代人方程(7)中，迭代次得到一組混沌序列xi，其中k>N3，i=l，2，…，k；

(4)從步驟(3)中獲得的混沌序列yj中隨機(jī)從某一值開(kāi)始依次取像素組成混沌序列j=l，2，…N3并對(duì)Yj作相應(yīng)處理，具體處理如式(8)所示：

(5)將步驟(4)中得到的混沌序列Yi的元素順次放入三維矩陣D中，D的大小為NxNxN，然后將D與步驟(3)中得到的置亂后的圖像信息矩陣P1進(jìn)行逐位異或運(yùn)算操作，得到加密后的圖像信息矩陣P2；

(6)將步驟(5)中得到的加密圖像矩陣P2中的元素依次放入二維零矩陣P3中，P3的大小為mxnl，其中mXn1≈N3。若沒(méi)有這樣的整數(shù)nl，使得mXn1=N3，則取最小的值nl，使得mXn1>N3，而二維矩陣P3中仍
有mXn1=N3個(gè)零元素，本算法中取數(shù)值為0~255的整數(shù)混沌序列進(jìn)行填充，再將信息矩陣按照?qǐng)D像標(biāo)準(zhǔn)格式保存，得到最終的加密圖像；

解密算法就是加密算法的逆運(yùn)算。

四、仿真分析

1、實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為驗(yàn)證本算法，本文選取p=3.767835609687648，x0-0.565786987640228作為L(zhǎng)ogistic映射的加密密鑰，對(duì)圖像進(jìn)行三維Amold變換的次數(shù)為4次，按照加密步驟對(duì)圖1所示圖像“stone’’進(jìn)行加密，圖像大小為492 x 738，重構(gòu)后的三維圖像矩陣大小為72×72 x72，加密后的圖像大小為492×7590其中圖l為原始圖像，圖2為加密圖像，圖3為解密圖像。

由圖1和圖3中可以看出解密圖像與原始圖像一致，說(shuō)明解密無(wú)誤，而通過(guò)圖2則說(shuō)明了最終加密后的圖像很好地隱藏了原始圖像中的數(shù)據(jù)，說(shuō)明加密成功。

2、置亂度分析

圖像的置亂程度可從主觀和客觀兩個(gè)方面進(jìn)行分析。主觀方面，一般認(rèn)為置亂程度比較好的圖像是通過(guò)人眼不能觀察到原圖像所包含的信息，下面運(yùn)用二維Arnold變換和本算法中的三維Arnold變換對(duì)圖像“grass”進(jìn)行不同次數(shù)的置亂并進(jìn)行對(duì)比，圖像大小為216×216，“grass”原始圖像如圖4所示，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。

由圖5可以看出，二維Arnold變換要想達(dá)到較好的置亂效果，需進(jìn)行多次反復(fù)置亂操作，而本算法中運(yùn)用的三維Arnold變換經(jīng)過(guò)一次置亂就達(dá)到了較好的置亂效果，置亂效率較高。

3、統(tǒng)計(jì)直方圖

圖6(a)顯示的是圖l所示原始圖像“stone”對(duì)應(yīng)的直方圖，圖6(b)所示為圖2所示最終加密圖像的直方圖，圖6(c)所示為圖3所示解密圖像的直方圖，由圖6(b)可以看出，加密后的圖像直方圖分布均勻，將原始圖像信息特征完全隱藏起來(lái)，說(shuō)明加密性能良好，而原始圖像和解密圖像的直方圖完全一致，說(shuō)明解密成功。

4、像素相關(guān)性分析

經(jīng)實(shí)驗(yàn)測(cè)試，圖1所示原始圖像“stone”和其加密圖像（圖2）的各方向相鄰像素間的相關(guān)系數(shù)如表2所示，由表2可知，加密后的圖像相鄰像素的相關(guān)性大大降低，可有效抵抗攻擊者的統(tǒng)計(jì)分析。

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