目前廣泛應(yīng)用于加密的混沌模型主要有Logistic映射，其有著形式簡單、產(chǎn)生混沌時間序列短等優(yōu)點(diǎn)。如果在混沌加密之前，對圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行小波變換，變換后得到的小波系數(shù)中如果有一個發(fā)生改變，就會通過小波變換的逆運(yùn)算體現(xiàn)在所有的象素點(diǎn)中，這樣的加密效果會更好。為此，我們引入兩種混沌映射，設(shè)計了出了一種對二維小波分解所得到全部頻率系數(shù)進(jìn)行Zigzag置亂和應(yīng)用混沌序列改變象素值相結(jié)合的圖像加密算法。

一、Zigzag變換

Zigzag置換是一種置亂方法，通過對一個矩陣中的元素從左上角開始按“之”字形依次掃描取數(shù)來達(dá)到對數(shù)據(jù)進(jìn)行置換。首先將掃描到的元素先依次存放到一個一維數(shù)組中，然后再將此一維數(shù)組按一定的方式置換為二維矩陣，則上述的置換過程可看作是對矩陣中元素的置換，這樣的過程就叫做Zigzag置換。Zigzag置換的特點(diǎn)是算法實現(xiàn)簡單，時間復(fù)雜度低。其在數(shù)字圖像處理中應(yīng)用比較多，基于Zigzag置亂在視頻加密方法及圖像數(shù)據(jù)壓縮等方面已有廣泛的應(yīng)用。

在算法分析領(lǐng)域有兩個很重要的概念：時間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度，二者往往是矛盾的。在信息安全領(lǐng)域，往往更追求的是算法的時間復(fù)雜度低而相對不在意空間復(fù)雜度。如在AES加密過程中，其S變換使用查表的方法得到的程序，加密效率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他加密算法。在本文所設(shè)計的變換過程中也使用查表的方法完成Zigzag排列。下圖給出一組8_8的Zigzag排列的系數(shù)的行列變換表及其逆變換表。

按照變換表就可以對一個8_8的矩陣I進(jìn)行Zigzag置亂，具體置亂過程可由下式表示：

其中：z（i，j）表示置亂后矩陣i，j處的元素，r（i，j），c（i，j）分別為行、列變換索引表i，j處的元素。由相應(yīng)的逆變換表可以得到原始矩陣。

二、混沌序列模型

混沌現(xiàn)象是在非線性動力系統(tǒng)中出現(xiàn)的確定性的、類似隨機(jī)的過程，這種過程既非周期又不收斂，并且對初始值極其敏感，正是由于此性質(zhì)，在信息安全中得到了廣泛的應(yīng)用。

1、Henon映射

Henon映射定義為：

其中：a，b均為任意常數(shù)，b=1時為保面積映射，b<1時為耗散映射。參數(shù)取值為a=1.4，b=0.3，此時系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

2、正弦平方映射

正弦平方映射方程為：

上式中x0#R，且0<x0<1，當(dāng)b>1時，其Lyapunov指數(shù)大于零，且Lyapunov指數(shù)λ=ln（b），系統(tǒng)工作在混沌狀態(tài)。

3、初值敏感性測試

本文在這里設(shè)計了一種測試混沌序列初值敏感性的方法，以正弦平方映射為例來說明實現(xiàn)方法。設(shè)有兩個初值，僅相差10-5，由這兩個初值分別得到兩組序列值，再計算出他們對應(yīng)值的差值，進(jìn)而可以繪制出初值敏感性圖，部分代碼如下。下圖（a）、（b）畫出了henon映射100步內(nèi)的誤差圖，由圖可知差異有時可達(dá)最大值，下圖（c）給出了正弦平方映射50步內(nèi)的誤差圖，差異有時甚至接近1。

x（1，:）=[0.4，0.400001];

fori=2:50

x（i，:）=sin（a*asin（sqrt（x（i-1，:））））.^2;

endy=x（:，1）-x（:，2）;

figure，plot（y）

三、基于Zigzag變換及混沌序列的圖像加解密算法

1、加解密過程

（1）基于Zigzag變換的置亂

考慮一幅大小為M_N具有N級灰度的圖像，對其采用適當(dāng)?shù)男〔ɑM(jìn)行二維小波分解得到其全部頻率系數(shù)，可以采用自己設(shè)計的一個隨機(jī)置亂表代替Zigzag變換表和式（1），把所得到的頻率系數(shù)轉(zhuǎn)換成矩陣，然后對其進(jìn)行8_8分塊使用Zigzag變換表進(jìn)行掃描。經(jīng)掃描后得到一組置亂了的頻率系數(shù)，再利用其進(jìn)行二維小波重構(gòu)，這樣便得到了置亂后的圖像。為了能使置亂效果更好，可以多次對頻率系數(shù)進(jìn)行變換。要想得到正確的圖像，必須要用變換時使用的變換表得到其相應(yīng)逆變換表和變換的次數(shù)n。因此，可以把所設(shè)計的變換表和變換次數(shù)n作為密鑰，從而實現(xiàn)圖像加密。

（2）混沌密鑰模板序列生成及象素值變換

本文所設(shè)計的加密算法就是利用Henen映射、正弦平方映射對初值敏感的性質(zhì)生成混沌序列作為密鑰模板進(jìn)而與象素值進(jìn)行運(yùn)算來得到一幅雜亂無章的圖像。由于圖像的灰度級為N級，其值從0~N-1，Henen映射、正弦平方映射產(chǎn)生的混沌序列值不在此范圍之內(nèi)。為了將以上映射產(chǎn)生的混沌序列與圖像象素值運(yùn)算，需做一些適當(dāng)?shù)男拚?，把所生成的值映射到集合{0，1，2_，N，N-1}。

a、混沌密鑰模板序列值的修正

設(shè)Henen映射，正弦平方映射所生成的混沌序列分別為r1，r2，r3。為了方便后邊的運(yùn)算，使用Matlab中的reshape函數(shù)將r1，r2，r3轉(zhuǎn)換成矩陣的形式，稱為密鑰模板矩陣。可用式（4）進(jìn)行修正。

其中，round（）函數(shù)為取整，abs（）表示求絕對值。

b、象素值變換

設(shè)I（i，j）為圖像（i，j）坐標(biāo)處的象素值，其中1_i_M，1_j_N，I（i，j）為（i，j）坐標(biāo)處變換后圖像的象素值，本文采用r1，r2，r3設(shè)計象素值變換映射，可由式（4）表示：

N是圖像的顏色深度（對于256級的灰度圖像，N=256），⊕代表按位異或運(yùn)算，mod代表求模運(yùn)算。為了增加密文圖像的安全性，可以多次進(jìn)行上述過程。這部分所用密鑰為:key1=（x01，y01，x02，b，n），x01，y01為式（2）的初值，x02，b為式（3）的初值和參數(shù)，n為迭代次數(shù)。為了提高圖像加密過程的效率，對于待加密的原圖像可以進(jìn)行分塊處理。解密是加密的逆，其逆運(yùn)算式為：

由此式就可完成象素變換的解密運(yùn)算。

c、加密算法

對明文圖像I進(jìn)行小波分解得到分解的全部頻率系數(shù)，對其進(jìn)行Zigzag變換，然后用此結(jié)果進(jìn)行二維小波重構(gòu)得到一次加密結(jié)果I1。

應(yīng)用混沌序列模板r1，r2，r3及式（5）對I1進(jìn)行加密得到密文象素流I1（i，j），可重復(fù)步驟（1）、（2）兩步多次。解密算法是加密過程的逆。

3、算法思想的擴(kuò)展

在上節(jié)中主要描述了對一幅灰度圖像的加密過程，本算法也可應(yīng)用于彩色圖像，具體過程是分別提取彩色圖像的R，G，B顏色分量，分別對其進(jìn)行3.1節(jié)所述的加密，然后對3個加密結(jié)果使用cat函數(shù)就可得到加密后的結(jié)果。同時在加密算法中，需要3個密鑰模板，則還可以使用三個不同的混沌映射來得到，在加密彩色圖像時，對每個分量加密時可以選取不同的初值和參數(shù)，這樣可以大大增大密鑰空間。

四、仿真試驗及結(jié)果分析

在Matlab7.0編程環(huán)境下，本文首先按照上面所述的加密算法對大小為96_96的lenna灰度圖像進(jìn)行了加解密試驗，然后又按上面所述思想實現(xiàn)了彩色圖像的加解密。在試驗中，對圖像使用haar小波基進(jìn)行二維小波分解，key1中的參數(shù)x01=0.2，y01=0.1，x02=0.5，b=3.9，n=1，試驗結(jié)果如圖所示：

由上圖（b）、（e）可看出加密后的圖像已是一幅無紋理，雜亂無章的圖像，從中不能得出原圖像的任何信息，得到了理想的加密結(jié)果。

1、算法的安全性分析

在信息安全領(lǐng)域，Kerckhoffs準(zhǔn)則認(rèn)為:一個安全保護(hù)系統(tǒng)的安全性不是建立在他的算法對于對手是保密的，而是應(yīng)該建立在他所選擇的密鑰對于對手來說是保密的。

2、密鑰空間分析

由上文加密算法的描述過程可知，該加密系統(tǒng)使用了Zigzag變換表和兩個不同的混沌系統(tǒng)。Zigzag變換表由兩個8_8行、列索引表構(gòu)成，其可以作為密鑰，在混沌序列的產(chǎn)生過程中，需要3個不同的初始條件和1個參數(shù)以及加密次數(shù)，由此可見密鑰空間是非常大的，可以有效地抵抗窮舉攻擊。

（1）密鑰敏感性測試

上圖（g）是當(dāng)解密時只把x02的值做了微小的變化得到的解密結(jié)果，其中x02=0.500000001。結(jié)果表明，解密結(jié)果是一幅雜亂無章的圖像，解密失敗。體現(xiàn)了很好的密鑰敏感性，同時也達(dá)到了密碼學(xué)中混淆和擴(kuò)散的目的。

（2）抗惡意攻擊

當(dāng)?shù)谌呓厝〉诫s亂無章加密圖像但無法獲取解密密鑰就不可能得到明文圖像，則其就可能對密文圖像進(jìn)行加噪、剪切等惡意攻擊來破壞圖像。上圖（h）是加密圖像受加椒鹽噪聲攻擊的解密結(jié)果，可看出解密結(jié)果雖然有一些噪聲顆粒，但整個圖像輪廓還是可見的。實驗過程也做了其他攻擊，結(jié)果都體現(xiàn)了算法的魯棒性。圖像中相鄰象素間存在較大的相關(guān)性，利用這一固有性質(zhì)可以進(jìn)行統(tǒng)計分析攻擊。上圖（i）是原圖像的灰度值統(tǒng)計直方圖，上圖（j）是文件加密圖像的象素直方圖。

可見，加密過程將原始圖像灰度值的不均勻分布變成了灰度值的均勻分布，使密文灰度值在[0，255]整個空間范圍內(nèi)取值概率均等，使明密文的相關(guān)性大大降低，體現(xiàn)了算法抗統(tǒng)計分析攻擊的能力。

對于彩色圖像可得到相同結(jié)果。

本文給出了基于小波分解所得到的頻率系數(shù)的Zigzag置亂和應(yīng)用兩個混沌系統(tǒng)生成相應(yīng)的混沌序列經(jīng)修正后轉(zhuǎn)換成圖像加密模板矩陣，進(jìn)而應(yīng)用這兩個加密模板對象素值進(jìn)行變換的加密算法，該算法易實現(xiàn)。

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