離散分?jǐn)?shù)傅立葉變換是離散傅立葉變換的推廣形式,在光學(xué)、信號處理特別是數(shù)字圖像加密等方面有著廣闊的應(yīng)用。傳統(tǒng)的離散分?jǐn)?shù)傅立葉變換(DFrFT)和離散分?jǐn)?shù)哈特里變換(DFrHT)的定義是由臺灣學(xué)者Pei給出的。那么接下來，我就給大家介紹這種基于離散分?jǐn)?shù)傅立葉和哈特里變換的圖像文件加密方法。

一、基本的離散傅立葉變換

離散傅立葉變換(DFT)矩陣F定義如下:

基于F的特征分解，N×N維離散傅立葉變換矩陣定義為：

T表示轉(zhuǎn)置，矩陣V=[v0|v1|…|vN-2|vN-1]和V=[v0|v1|…|vN-2|vN]分別對應(yīng)N為奇數(shù)和偶數(shù)。Λ是一個對角矩陣，對角元素是V矩陣中每列的特征向量元素vk，這里vk是標(biāo)準(zhǔn)化了的k階赫爾米特-高斯特征向量。

二、兩類離散算子的構(gòu)造和性質(zhì)

1、M(σ,τ)的構(gòu)造和新的DFrFT與DFrHT

Pei定義的DFrFT與DFrHT間相互關(guān)系如下:

這里zτ=Fτx，yτ=Hτx，P是一個反對角矩陣，并且x是一個隨機(jī)向量。這種關(guān)系可以被改寫為：Fτ=。

這里根據(jù)Pei的定義：

因此Fτ和Hτ可以通過乘以一個離散算子：實(shí)現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化。所以，進(jìn)一步一般化這種關(guān)系來構(gòu)造M(σ,τ)：

由于Fr，F(xiàn)i具有0特征值，因此有：FarFbi=FbiFar=0，a，b∈R。

同時得到：

這樣就得到了新的DFrFT與DFrHT的定義：

這里定義的M(σ，τ)的主要性質(zhì)如下：

（1）當(dāng)σ=τ=1時，

（2）因M(σ，τ)無零特征值，其逆矩陣為所以M(σ，τ)是一個酉算子。

2、矩陣W(α)的構(gòu)造及其性質(zhì)

考慮N×N矩陣W(α)=VAVT，這里A是對角矩陣，對角元素為α=(α0,α1,…αN-1)，V是由DFT赫爾米特特征向量構(gòu)成的N×N矩陣

計(jì)算向量α的DFT變換如下：

因此一般情況下矩陣W(α)分解計(jì)算如下：

這個結(jié)果無論N是奇數(shù)還是偶數(shù)的情況下都是成立的，也就是說構(gòu)造矩陣W(α)可以被分解成一系列離散分?jǐn)?shù)傅立葉變換加權(quán)求和的形式，而且分?jǐn)?shù)階是規(guī)則遞增的，其中加權(quán)系數(shù)是隨機(jī)特征值向量的離散傅立葉變換結(jié)果。除此之外，矩陣W(α)還具有許多離散變換的優(yōu)良性質(zhì)，具體如下：

（1）單位變換：當(dāng)退變換化為單位變換；

（2）傅立葉變換：當(dāng)時，該變換退化為傅立葉變換；

（3）指數(shù)可加性：；

（4）指數(shù)交換性：；

（5）可逆變換性：

其中：

三、圖像加密應(yīng)用

1、 使用M(σ，τ)加密

選取σ=5115，τ=0123加密算子為H-(σ+τ)=H-5138，數(shù)值仿真結(jié)果是圖1～圖2。

2、 使用W(α)加密

選取，t=0:0101:2155，數(shù)值仿真結(jié)果是圖3-圖4。

3、誤差(MSE)分析

一般的來講，在第一種方法中使用σ，τ來加密，因此數(shù)值模擬后的誤差圖5，圖6如下：

可以看到在最接近正確解密點(diǎn)σ=017，τ=017時，誤差的趨勢是極不規(guī)則和不可預(yù)測的，同時當(dāng)離開正確解密點(diǎn)時，誤差迅速增加到10的4次方級別。所以要想破譯幾乎是不可能的。

本文通過構(gòu)造一個新的離散算子M(σ，τ)來給出DFrFT和DFrHT新的定義，另外構(gòu)造并研究了一類特殊的矩陣W(α)，它可以被分解成一系列離散分?jǐn)?shù)傅立葉變換加權(quán)求和的形式。研究發(fā)現(xiàn)，這兩個新的算子擁有幾乎所有離散算子的性質(zhì)，包括可逆性、指數(shù)可加性、可交換性等等。最后作為應(yīng)用的例子，將這兩種算子應(yīng)用到圖像加密上，數(shù)值模擬結(jié)果顯示這種方法是可行的且保密效果更好。

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