自從1995年有專家提出基于雙隨機(jī)相位編碼光學(xué)圖像加密的算法以來，人們研究了多種用于圖像加密的傅立葉變換（K2）光學(xué)系統(tǒng)和相應(yīng)的加密算法。如一些專家提出用分?jǐn)?shù)傅立葉變換（KHK2）光學(xué)的方法實(shí)現(xiàn)圖像的雙隨機(jī)相位加密，這種方法比用K2系統(tǒng)加密有更好的保密性能。依據(jù)一些專家提出的變形分?jǐn)?shù)傅立葉變換（FRFT）光學(xué)實(shí)現(xiàn)的理論，提出了采用AFRFT光學(xué)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)雙隨機(jī)相位編碼的加密方法。

采用變形分?jǐn)?shù)傅立葉變換的光學(xué)圖像加密方法

二維KHK2一般定義為：

其中：

Cpx和+Cpy是兩個(gè)復(fù)常數(shù)。px和py分別表示沿x軸和沿y軸的一維FRFT的階數(shù)。當(dāng)px=py時(shí)，F(xiàn)px,py｛_｝為常規(guī)的FRFT；當(dāng)px≠py時(shí)，F(xiàn)px,py｛_｝為AFRFT。這時(shí)，式（1）可寫為：

一般有：

式（4）（5）說明：完成一次二維AFRFT，可以先做沿x軸（沿y軸）的一維FRFT，再做沿y軸（沿x軸）的一維FRFT。光學(xué)上完成一次二維AFRFT可以由兩個(gè)主軸相互垂直的柱面透鏡分別沿x軸和沿y軸做不同分?jǐn)?shù)階的一維FRFT來實(shí)現(xiàn)。

采用變形分?jǐn)?shù)傅立葉變換的光學(xué)圖像加密過程

采用AFRFT實(shí)現(xiàn)光學(xué)圖像加密和解密的光路簡(jiǎn)圖如圖1所示。

其中，族參數(shù)

其中，μ=x,y；v=1,2，λ=E為加密，λ=D為解密，f為柱面平凸透鏡的焦距。為了達(dá)到加密后的圖像能正確解密的目的，根據(jù)分?jǐn)?shù)傅立葉變換的特性，只有相同族參數(shù)的分?jǐn)?shù)階變換級(jí)聯(lián)時(shí)，其階數(shù)才可以相加，因此，必須保證Feμ1=Fdμ2和Feμ2=Fdμ1。同時(shí)，為了便于光學(xué)實(shí)現(xiàn)，考慮讓加密和解密時(shí)各個(gè)透鏡的焦距相等，這就必須使：

這樣就有Fdμ1≥0，F(xiàn)dμ2≥0即解密的分?jǐn)?shù)階為非負(fù)數(shù)。根據(jù)相關(guān)資料，在解密時(shí)采用負(fù)的分?jǐn)?shù)階進(jìn)行解密，則在保證族參數(shù)相同的條件下，其光路是相當(dāng)復(fù)雜的，不便于光學(xué)實(shí)現(xiàn)。圖1中A、B、C、D處分別為相應(yīng)的一維分?jǐn)?shù)傅立葉頻譜平面的位置。

設(shè)將要加密的圖像為實(shí)值函數(shù)f（x，y），兩個(gè)隨機(jī)相位掩膜分別為M1(x,y)=cxp[j2πφ(x,y)]和M2(x,y)=cxp[j2πψ(x,y)]，其中φ(x,y)和ψ(x,y)為在［0，1］中隨機(jī)分布的白噪聲。依此提出的加密光路、加密過程如下：首先，在輸入平面xy上，用f（x，y）與M1(x,y)相乘得到輸入信號(hào)i(x,y)=f(x,y)M1(x,y)；i(x,y)依次經(jīng)過階數(shù)分別為Px1、Py1和Px2的一維FRFT，在x'，y'平面上得到頻譜I(x',y')=Fpx2{Fpy2{Fpx1{i(x,y)}}}，并讓I(x',y')與M2(x',y')相乘后進(jìn)行階數(shù)為Py2的一維FRFT，在輸出平面uv上得到文件加密后的圖像E(u,v)=Fpy2｛I(')M2(x'y')}。這將是白噪聲圖像。

解密時(shí)，平面uv為輸入平面，解碼相位掩膜為。解密過程為：首先，將加密圖像E(u,v)進(jìn)行階數(shù)為2-py2的一維FRFT，可在平面D上得到：

再經(jīng)過階數(shù)為2的"方向的一維FRFT，把它轉(zhuǎn)變?yōu)閤'y'平面上的I(x',y')M2(x',y')，并用M3(x',y')進(jìn)行濾波，則在x'y'平面上可得到I(x',y')M2(x',y')*M3(x',y')=I(x',y')。然后，將I(x',y')依次進(jìn)行階數(shù)分別為2-px22-py2和2-px2的一維FRFT，即：

在輸出平面xy上可得到i(x,-y)=f(x,-y)M1(x,-y)。在xy平面上用CCD攝像機(jī)可將相位函數(shù)M1(x,-y)消除，得到圖像|f(x,-y)|2，在計(jì)算機(jī)中可以將|f(x,-y)|2轉(zhuǎn)變?yōu)閨f(x,y)|2，這樣就完成了圖像的解密過程。

基于變形分?jǐn)?shù)傅立葉變換光學(xué)的圖像加密方法的顯著特點(diǎn)是在解密時(shí)采用了便于光學(xué)實(shí)現(xiàn)的非負(fù)階次的分?jǐn)?shù)傅立葉變換。仿真結(jié)果表明：采用該方法進(jìn)行圖像加密，能夠使加密系統(tǒng)加密的自由度增加到6個(gè)以上；當(dāng)分?jǐn)?shù)階作為加密密鑰時(shí)，密鑰個(gè)數(shù)比采用常規(guī)FRFT的要多2個(gè)；在盲解密時(shí)，系統(tǒng)對(duì)分?jǐn)?shù)階的錯(cuò)誤的敏感性比采用常規(guī)FRFT的系統(tǒng)要強(qiáng)，任何一個(gè)分?jǐn)?shù)階獨(dú)立的錯(cuò)誤|△|＞0.005時(shí)，得到的解密圖像人眼將難于分辨，分?jǐn)?shù)階作為密鑰的魯棒性很好。

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