混沌圖像加密技術(shù)是近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的一種新的圖像加密技術(shù)，但目前采用的混沌系統(tǒng)大都是整數(shù)階的一維、二維或三維混沌系統(tǒng)，很少使用分?jǐn)?shù)階的混沌系統(tǒng)。以Duffing系統(tǒng)為例，對(duì)分?jǐn)?shù)階Duffing系統(tǒng)和整數(shù)階Duffing系統(tǒng)進(jìn)行分析，當(dāng)兩個(gè)系統(tǒng)取相同參數(shù)并都達(dá)到混沌狀態(tài)時(shí)，對(duì)混沌序列的偽隨機(jī)性進(jìn)行分析比較，可得到分?jǐn)?shù)階的混沌系統(tǒng)的偽隨機(jī)性更強(qiáng)，并且分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)也可以作為密鑰，理論上比整數(shù)階系統(tǒng)的密鑰空間大得多，分?jǐn)?shù)階Duffing系統(tǒng)更適用于圖像加密，并具有很好的加密效果。

一、分?jǐn)?shù)微分型Duffing方程的數(shù)值方法

經(jīng)典的分?jǐn)?shù)階Duffing方程為：

當(dāng)q＝1時(shí)，即為整數(shù)階Duffing方程。為了方便計(jì)算，將分?jǐn)?shù)階微分方程轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程：

其中，Dq［X1（t）］＝Z（t），x1、x2為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，p、ω、c、d、e為系統(tǒng)的參數(shù)，q為微分的階數(shù)。

本文采用工程中應(yīng)用較廣的黎曼－劉維爾定義的分?jǐn)?shù)微分：

并采用分?jǐn)?shù)微分的Zhang－Shimizu數(shù)值算法。

二、分?jǐn)?shù)微分型Duffing混沌序列及預(yù)處理

系統(tǒng)的初始值設(shè)為：

x1（0）＝0.4，x2（0）＝0.2，控制參數(shù)為C＝0.3，P＝0.84，d＝－1，e＝1；ω＝1.2。分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)階值q變化時(shí)，分?jǐn)?shù)微分型ω振子的長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為影響的分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)階值－位移分岔圖如圖1所示。

從圖1可以看出，當(dāng)0.2＜q＜0.9時(shí)，系統(tǒng)為擬周期運(yùn)動(dòng)或者混沌運(yùn)動(dòng)。由于篇幅有限，僅以q＝0.6為例，在相同的初始值和相同的控制參數(shù)下，分?jǐn)?shù)階和整數(shù)階系統(tǒng)的相圖、功率譜、龐加萊截面圖分別如圖2～圖4所示。

由上面各圖可以看出，分?jǐn)?shù)階和整數(shù)階系統(tǒng)的相圖都出現(xiàn)了兩個(gè)吸引子，功率譜圖的峰值連成一片，且龐加萊截面上是一些成片的具有分型結(jié)構(gòu)的密集點(diǎn)，以上三點(diǎn)說明了此時(shí)分?jǐn)?shù)階和整數(shù)階的系統(tǒng)都進(jìn)入了混沌狀態(tài)。

混沌序列的偽隨機(jī)性越強(qiáng)，那么圖像置亂效果會(huì)越好。按照Golomb對(duì)偽隨機(jī)序列提出的三個(gè)公設(shè)，理想的混沌序列應(yīng)具有以下統(tǒng)計(jì)特性：均勻分布，自相關(guān)是δ函數(shù)，互相關(guān)是零。

根據(jù)圖像加密對(duì)混沌序列的需求，我們對(duì)分?jǐn)?shù)階和整數(shù)階的混沌序列分別進(jìn)行以下預(yù)處理：去掉各實(shí)數(shù)值的整數(shù)部分，再將小數(shù)點(diǎn)后移三位，從混沌序列中每隔十個(gè)取一個(gè)組成新的混沌序列，得到的分?jǐn)?shù)階和整數(shù)階的混沌序列及自相關(guān)特性和互相關(guān)特性如圖5～圖9所示。

從上面各圖可以看到，0.6階Duffing系統(tǒng)與整數(shù)階系統(tǒng)的混沌序列相比較，均值都接近于0，分布很均勻，但0.6階系統(tǒng)的混沌序列的自相關(guān)函數(shù)更接近δ函數(shù)，互相關(guān)性更接近于0，說明0.6階的混沌系統(tǒng)偽隨機(jī)性比整數(shù)階混沌系統(tǒng)要好得多。為了更清晰地看出分?jǐn)?shù)階和整數(shù)階混沌序列的差別，用表1來(lái)說明0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8階與整數(shù)階的差別。

從圖5～圖9以及表1可以看出，在均值方面，分?jǐn)?shù)階序列與整數(shù)階序列的均值都幾乎接近于0，說明分?jǐn)?shù)階序列與整數(shù)階序列分布都很均勻；在自相關(guān)方面，分?jǐn)?shù)階序列的自相關(guān)函數(shù)旁瓣最大值比整數(shù)階序列的小得多，更接近δ函數(shù)；在互相關(guān)方面，可以看出，分?jǐn)?shù)階序列的互相關(guān)更接近0。由以上三點(diǎn)可以看出分?jǐn)?shù)階序列比整數(shù)階序列的偽隨機(jī)性更好，使用分?jǐn)?shù)階序列進(jìn)行圖像置亂會(huì)有更好的置亂效果。

系統(tǒng)的參數(shù)和初始值都可以作為圖像加密的密鑰，對(duì)于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)來(lái)說，除了整數(shù)階所具有的初始值和系統(tǒng)參數(shù)外，階數(shù)q值也可以作為密鑰。設(shè)每個(gè)混沌系統(tǒng)的初值均有16位有效數(shù)字，
則分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的密鑰空間為1016×7＝10112，而整數(shù)階混沌系統(tǒng)的密鑰空間只有1016×6＝1096。從理論上來(lái)說，分?jǐn)?shù)階序列的密鑰空間要比整數(shù)階序列的大得多。

三、分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)進(jìn)行圖像加密

選兩幅紋理特征不同的圖像作為加密對(duì)象，大小都是056×256，其中一幅是標(biāo)準(zhǔn)圖像lena。采用上述分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列對(duì)圖像進(jìn)行加密，只把x1的初始值作為密鑰，其他參數(shù)如上面所述保持不變。

從圖10和圖11可以清楚地看到，加密后的直方圖分布比較均勻，統(tǒng)計(jì)特性較大，掩蓋了原始圖像的特征，密文能夠抵抗攻擊；原始圖像豎直方向相鄰像素的相關(guān)性比較大，而加密后破壞了豎直方向相鄰像素的相關(guān)性，幾乎沒有相關(guān)性，說明圖像特征已經(jīng)很好地?cái)U(kuò)散到加密圖像中。當(dāng)密鑰誤差為10－15時(shí)，得到的錯(cuò)誤解密圖像為10h和圖11h，可以說明即使密鑰只有微小的誤差也不能正確解密。

本文通過相位圖、功率譜圖、龐加萊截面以及分岔圖，對(duì)取相同參數(shù)和初始值的Duffing的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)和整數(shù)階系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了比較，當(dāng)兩個(gè)系統(tǒng)都進(jìn)入混沌狀態(tài)后，分?jǐn)?shù)階的Duffing系統(tǒng)要比整數(shù)階的偽隨機(jī)性更強(qiáng)，密鑰空間更大，當(dāng)密鑰誤差為10的-15次方時(shí)，都不能正確解密。綜上所述，用分?jǐn)?shù)階Duffing系統(tǒng)進(jìn)給圖像文件加密效果比整數(shù)階的更好。

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