針對目前基于分數(shù)階傅里葉變換圖像加密算法的不足，我們設計了一種基于FRFT的改進圖像加密新算法。算法重新設計了基于FRFT圖像加密算法的流程圖，將經過FRFT加密后的圖像再進行置亂加密。理論分析和實驗結果表明該算法在不增加算法復雜性的同時，提高了其安全性。

一、分數(shù)階傅里葉變換理論

信號x（t）的FRFT定義為：

式中:p為FRFT的階，可以為任意實數(shù)；α=pπ/2為FRFT的算子符號；Kp（t，u）為FRFT的變換核：

FRFT的逆變換為：

FRFT域也稱為u域，而時域和頻域則可視為FRFT域的特例。離散形式的分數(shù)階傅里葉變換（DFRFT，DiscreteFractionalFourierTransform）需通過限定輸入輸出采樣間隔來保持DFRFT變換核的正交性，從而使經過正反兩次變換后得到的序列和原序列完全一致。即對FRFT的輸入輸出分別以間隔Δt和Δu進行取樣，當FRFT域的輸出采樣點數(shù)M≥時域采樣點數(shù)，并且采樣間隔滿足：

Δu_Δt=|S|_2π_sinα/M時，DFRFT可以表示為：

其中|S|是與M互質的整數(shù)（常取為1），，D為整數(shù)。為了簡化計算，通常取M=N，這樣，當α≠Dπ時，上式可以寫成如下矩陣形式：

X=Fαx

其中X=（Xα（0），Xα（1），…，Xα（N-1））T，x=（xα（0），xα（1），…，xα（N-1））T，F(xiàn)α為N×N矩陣，其元素為：

同樣，逆變換可以寫為：

x=F-αX

其中F-α=FHα，H為共軛轉置。

二、目前基于分數(shù)階傅里葉變換的圖像加密算法存在的不足

基于分數(shù)階傅里葉變換的圖像加密算法，算法將原始圖像乘以隨機相位掩膜后進行2DFRFT變換得到加密圖像?；诜謹?shù)階傅里葉變換的指紋圖像加密算法，算法中使用4次隨機相位掩膜和5次FRFT變換得到加密圖像。目前此類算法的安全性只取決于FRFT階數(shù)和用戶密鑰生成的隨機相位掩膜，所存在的不足主要有：

（1）密鑰空間小。分數(shù)階傅里葉變換的階數(shù)以4為周期，其密鑰空間為103，抵抗窮舉攻擊的能力較差；

（2）加密圖像對密鑰的敏感性較差。以圖1為例進行說明，圖1（a）為FRFT的加密圖像，圖1（b）為錯誤隨機密鑰下恢復的解密圖像，可見即使在錯誤的隨機相位掩膜下，仍可恢復原始圖像的部分信息。

（3）加密圖像的系數(shù)分布均勻性差。根據Walsh圖像置亂程度評價函數(shù)，加密圖像的系數(shù)分布越均勻，即加密圖像的Walsh變換能量越集中左上角一點處，圖像加密的效果越好。圖1（c）為利用FRFT加密圖像中心區(qū)域1/4系數(shù)恢復的原始圖像，圖1（d）為利用FRFT加密圖像中心區(qū)域1/16系數(shù)恢復的原始圖像。

從圖中可見，只利用加密圖像中很少一部分系數(shù)即可恢復出原始圖像的大部分內容，即加密圖像的系數(shù)分布均勻性差。

三、改進的圖像加密算法

針對目前算法存在的不足，設計了一種基于分數(shù)階傅里葉變換的改進圖像加密新方案。方案的加密/解密流程圖如圖2所示。

加密過程描述如下：

（1）將原始圖像I如圖3（a）所示進行FRFT域雙隨機相位加密，即首先將I與隨機相位掩膜MASK1=exp[i2πn（x，y）]相乘后經過階為（α1，β1）的分數(shù)階傅里葉變換，得到圖像I′，然后將再I′與隨機相位掩膜MASK2=exp[i2πh（x，y）]相乘后經過階為（α2，β2）的分數(shù)階傅里葉變換，其中n（x，y）和h（x，y）為用戶密鑰k1，k2生成的[0，1]范圍內均勻分布的隨機數(shù)，得到圖像I″；

（2）設定初始值x0和參數(shù)μ，利用Logistic混沌映射生成置亂矩陣T（x，y），x=0，1，…，M-1;y=0，1，…，N-1，將圖像I″代入下式生成最終加密圖像C，其實部和虛部分別如圖3（b），（c）所示。

其中t（x，y）為置亂矩陣T在（x，y）處的元素值。與其它置亂算法相比較，混沌映射具有對參數(shù)敏感以及密鑰空間大等優(yōu)點，其在較少置亂次數(shù)下就能達到很好的置亂效果，與其它置亂算法的比較如表1所示。

解密過程為加密過程的逆過程，為了得到原始圖像I，加密圖像C首先利用置亂矩陣T進行反置亂得到圖像I″，然后經過階為（-α2，-β2）的分數(shù)階傅里葉變換后乘以隨機相位掩膜MASK3=exp[-i2πh（x，y）]得到圖像I′，然后再經過（-α1，-β1）的分數(shù)階傅里葉變換后乘以隨機相位掩膜MASK4=exp[-iπn（x，y）]后得到原始圖像I，如圖4（a）所示，其中n（x，y）和h（x，y）的生成與加密過程相同。

四、基于分數(shù)階傅里葉變換的改進圖像加密算法分析

圖像加密算法的安全性取決于密鑰空間的大小、加密圖像對密鑰的敏感性及算法的復雜性，下面逐一進行分析。

（1）密鑰空間根據改進的圖像加密方案，加密過程采用的密鑰包括：生成隨機相位掩膜中的參數(shù)k1和k2（設參數(shù)由10位數(shù)字組成，則密鑰空間數(shù)量級為1010）；FRFT的階α1，2和β1，2（密鑰空間數(shù)量級為103）；混沌映射中的x0（密鑰空間數(shù)量級為1015）和μ（密鑰空間數(shù)量級為1013）。因此總密鑰空間達到1060，可見該算法密鑰空間巨大，能夠抵抗非授權用戶在規(guī)定時間內的窮舉攻擊。

（2）加密圖像對密鑰的敏感性設定不同的混沌映射初始條件x0和μ，其它所有參數(shù)都相同的條件下恢復的原始圖像如圖4（b）所示；設定用戶加密密鑰k1=1234567890，解密密鑰k1=1234567891，其它所有參數(shù)都相同的條件下的解密圖像如圖4（c）所示；設定加密階（α1=114149，β1=11751），解密階（α1=114149，β1=11761），其它所有參數(shù)都相同的條件下的解密圖像如圖4（d）所示。從實驗結果可以看出，密鑰的細微改變都會對解密圖像產生很大影響，即該算法對密鑰是敏感的。

針對目前基于分數(shù)階傅里葉變換的圖像加密算法中存在的不足，設計了一種圖像文件加密改進算法。算法重新設計了基于FRFT圖像加密算法的流程圖，將原始圖像經過雙隨機相位加密后再進行混沌置亂映射。理論分析和模擬實驗結果表明該方案不僅解決了之前算法存在的不足，而且具有密鑰空間巨大、加密圖像對密鑰敏感等特性，是一種安全、有效的圖像加密方案。

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