為了提高圖像加密算法的安全性和高效性，我們提出了一種分段Logistic混沌映射與Cat映射相結(jié)合的雙混沌系統(tǒng)。首先由改進(jìn)后的Logistic映射確定選用哪種映射進(jìn)行迭代，從而確定混沌密鑰，最后對加密算法的安全性進(jìn)行分析。

一、分段Logistic混沌映射和Cat映射

1、分段Logistic混沌映射

一維Logistic映射從數(shù)學(xué)形式來看是非常簡單的混沌映射，但此系統(tǒng)具有極其復(fù)雜的動力學(xué)行為，因此在保密通信領(lǐng)域的應(yīng)用十分廣泛，其數(shù)學(xué)表達(dá)公式如下：

其中μ∈[O，4]被稱為Logistic參數(shù)，n=1，2，…，當(dāng)x∈[O，1]時，Logistic映射工作處于混沌狀態(tài)，也就是說，初始條件xo在Logistic映射作用下產(chǎn)生的序列是非周期的、不收斂的，但在此范圍之外，其生成的序列必將收斂于某一個特定的值。如圖1所示。

圖1(a)為xo =0.5，μ=3.99時的300次迭代結(jié)果，圖1(b)為xo =0.5，μ=2.5時的300次迭代結(jié)果。

可以看出，在μ取3.569 945 6<μ≤4時，特別是接近4時，迭代生成的值是處于一種偽隨機(jī)分布的狀態(tài)，而在其他取值時，經(jīng)過一定次數(shù)的迭代之后，生成的值將收斂到一個特定的數(shù)值，這是不可接受的。

當(dāng)μ=4時，相應(yīng)的Logistic映射定義為：

混沌系統(tǒng)在初值發(fā)生微小變化時，得到的結(jié)果就會大相 徑庭，圖2的Logistic混沌映射就很好地反應(yīng)了初值敏感性。

圖2顯示的是xo =0.663 489 000和x0=0.663 489 001，μ=3.99時，兩個Logistic序列之差的圖像，在最開始20多次迭代， 兩者的差很小，近似為0，但隨著迭代次數(shù)的增加，兩個序列的 值顯示出一種無規(guī)律的情形，兩者相差也比較大。 Logistic混沌映射和Tent混沌映射存在著拓?fù)潢P(guān)系忉，由分段Tent映射的定義公式：

可構(gòu)造出分段Logistic混沌映射，其混沌映射定義為：

2、 Cat映射

二維的可逆Cat混沌映射每次的運算，都要先線性拉伸正方形的點空間，然后通過模運算分割折疊，如圖3所示。

二維cat映射動力學(xué)方程式如下：

因為線性轉(zhuǎn)換矩陣行列式為1，所以Cat映射又是區(qū)域保 留的。李雅普諾夫指數(shù)δ1=(3+ 根號5)/2>1，δ2=（3-根號5)/2<1；當(dāng)a、b均為1時，就是經(jīng)典的Amold Cat映射。

二、算法設(shè)汁

混沌系統(tǒng)的加密算法，設(shè)計關(guān)鍵是對混沌映射的選擇，不同的混沌映射在時間復(fù)雜度、空間復(fù)雜度以及安全性方面都有很大的差別。本文提出的分段Logistic雙混沌映射與Cat映射相結(jié)合的加密算法，相對一維Logistic混沌映射安全性更高，而相對于三維的混沌Lorenz系統(tǒng)復(fù)雜度更低，運算速度更快。

本算法先選定分段Logistic映射和Cat映射的初始值xo、yo和xo。再設(shè)定內(nèi)部參數(shù)a=0.4，b=0.6和μ=3.976，將選定的初始值和內(nèi)部參數(shù)作為密鑰，而xn、yn。和xn'為分段Logistic映射和Cat映射的中間迭代結(jié)果。解密過程與加密過程相同。算法步驟如下：

步驟1設(shè)置初始值xo、yo、xo'。

步驟2把xo、yo用分段Logistic映射公式（4）迭代500次，得到xn、yn。

步驟3計算xn×yn×100的值，取其后2、4、6、8位有效數(shù)字組成的整數(shù)，記為N（O<N<10000）

步驟4當(dāng)N當(dāng)N≥5 000時，選用Cat映射迭代5次，得到xn'、yn'。

步驟5計算xn'×yn'×100的值，取其后2、4、6、8位的值，組成一個十進(jìn)制整數(shù)與256取余，得到混沌密鑰。

步驟6讀取明文，將得到的混沌密鑰與明文做異或運算，得到密文字節(jié)。

步驟7判斷加密是否完畢。

加密解密流程圖如圖4所示。

三、實驗結(jié)果及分析

1、實驗結(jié)果

本算法在Matlab7.0上，對256×256的Lena圖像文件加密，其結(jié)果如圖5所示。

從實驗結(jié)果上看本算法有效地對圖像進(jìn)行了加密／解密，圖5(b)中可以看到，圖像在經(jīng)過加密后完全不能被識別，可見本算法具有較好的置亂性，而圖5(d)可以看到，密鑰稍有不同，解密出的圖像就得不到原圖的任何信息，說明該算法具有較高的安全性。而圖6中可以看出，加密后的圖像被均勻化了，說明該算法具有密碼學(xué)特征。

2、密切空間分析

為了不被窮舉攻擊解密圖像，加密方案應(yīng)該具有盡可能大的密鑰空間?；煦缧蛄械漠a(chǎn)生過程中，分別有3個參數(shù)和3個初值作為初始密鑰，密鑰空間可達(dá)到1090，由此可見密鑰空間很大。而規(guī)定的密碼位數(shù)為8位，因為ASCII字符集最多有95個，所以口令密鑰空間為958，因此使用窮舉攻擊是不可能成功的。

3、 初值敏感性分析

當(dāng)xo變量有10-8的微小變化時，加密后的圖像如圖7(a)所示，圖7(b)為兩圖做差的結(jié)果。

當(dāng)y0變量有10-8的微小變化時，加密后的圖像如圖8(a)所示，圖8(b)為兩圖做差的結(jié)果。

當(dāng)xo變量有10-8的微小變化時，加密后的圖像如圖9(a)所示，圖9(b)為兩圖做差的結(jié)果。

可以看出初值有微小的變化，其結(jié)果就相差很大，說明該方法具有很好的初值敏感性。在實際應(yīng)用中可以根據(jù)該算法，對不同的傳輸對象使用不同的密鑰，而不同的對象不可能根據(jù)自身的密鑰得到其他人的密鑰，因此該方法具有很好的安全性和實用性。

4、 加密擴(kuò)散速度和強(qiáng)度分析

將原始圖像的點(1，1)值由原來的138改為137，則像素數(shù)目變化速度(NPCR)，像素強(qiáng)度變化速度(UACI)分別利用公式(6)、(7)計算。

圖10可以看出，兩個圖像只有一個像素點不同，但隨著迭代次數(shù)的增加，兩幅圖像截然不同。

5、抗攻擊性能分析

為測試本算法的抗攻擊能力，考慮到Amold Cat算法具有較強(qiáng)的抗擊能力，因此選取Amold Cat算法進(jìn)行對比，如表1所示。

對加密圖像根據(jù)公式(8)進(jìn)行峰值信噪比計算，其中I為加密圖像，I'為加密圖像受攻擊后的圖像。

可以看出本算法對JPGE壓縮、高斯噪聲、椒鹽噪聲、乘性噪聲、高斯低通濾波、直方圖均衡化和裁剪等常見攻擊方法峰值信噪比都比Amold Cat算法的峰值信噪比高，因此該算法具有很好的抗攻擊能力。

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