為了增強(qiáng)分?jǐn)?shù)傅立葉變換在圖像信忠加密領(lǐng)域的復(fù)雜性，我們提出了一種基于分?jǐn)?shù)傅立葉交換生成序列多樣性的圖像加密算法，這種加密算法根據(jù)分?jǐn)?shù)傅立葉變換的生成序列的多樣性，構(gòu)造不同的分?jǐn)?shù)傅立葉變換的核函數(shù)，利用各級(jí)的生成序列、二維變換階次以及相位編碼時(shí)使用的隨機(jī)矩陣作為算法中的密鑰，對相位編碼后的圖像進(jìn)行3次不同的分?jǐn)?shù)傅立葉變換，達(dá)到對圖像文件加密的目的。

一、分?jǐn)?shù)傅立葉變換及其生成序列的多樣性

分?jǐn)?shù)傅立葉變換(fractional Fourier transfonn，HFr)是傅立葉變換的一種廣義形式。

1、分散傅立葉變換的生成序列

{φn(t)；n∈N}是構(gòu)成傅立葉變換(Fourier transform，F(xiàn)T)的特征函致的復(fù)規(guī)范正交基，滿足如下條件：

FT相應(yīng)的特征值μn可以表示為：

結(jié)合傅立葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)，由FT的規(guī)范正交基和特征值可以導(dǎo)出FT的函數(shù)的展開式：

分?jǐn)?shù)傅立葉變換是通過選取和傅立葉變換算子相同的特征函數(shù)并將其特征值分?jǐn)?shù)化得到的，將式（3）中的特征值μn用它的α次冪μαn代替即可得到分?jǐn)?shù)傅立葉變換的核函數(shù)表達(dá)式：

傅立葉變換和分?jǐn)?shù)傅立葉變換都是選取Hennite-Gauss( HG)函數(shù)作為規(guī)范正交基，如下式所示：

式中，Hn(t)=(- 1)net2dne-t2/dtn是N階Hennite多項(xiàng)式。

如同開平方運(yùn)算可以得到多個(gè)值一樣，一個(gè)復(fù)指數(shù)的實(shí)數(shù)次冪的運(yùn)算結(jié)果也是不惟一的，特征值的分?jǐn)?shù)次冪μαn的所有可能值為：

式中，qn是任意整數(shù)序列，選擇不同的qn將導(dǎo)致不同特征值，因而產(chǎn)生不同的分?jǐn)?shù)傅立葉變換的定義，稱gn= n+4qn(n=0，1，2，…)是FRFT的生成序列。因此，由于生成序列的多樣性可以產(chǎn)生的多種分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的核函數(shù)，導(dǎo)致分?jǐn)?shù)傅立葉變換的定義不是惟一的，而是存在多種形式。

2、分?jǐn)?shù)傅立葉變換的多樣性

分?jǐn)?shù)傅立葉算子Fα主要由其核函數(shù)以ψα(f,t)決定，信號(hào)s(t)的α階分?jǐn)?shù)傅立葉變換可以寫成：

1）當(dāng)gn=n時(shí)，由式(4)、(5)和(6)推導(dǎo)可以得到FRFI'的核函數(shù)：

結(jié)合式7，即得到信號(hào)s(t)的分?jǐn)?shù)傅立葉變換：

式中，α是分?jǐn)?shù)傅立葉變換的階次，

2）當(dāng)gn=n+8時(shí)，由式(8)和(9)可以得到信號(hào)s(t)的分?jǐn)?shù)傅立葉變換為：

3）當(dāng)gn= 3n時(shí)，同理可以得到信號(hào)s(t)的分?jǐn)?shù)傅立葉變換為：

3、二維離散分?jǐn)?shù)傅立葉變換

對于二維的圖像信號(hào)I(P，Q)，其二維離散分?jǐn)?shù)階傅立葉變換和反變換分別為：

式中，ψ(α，β)（p，q，m，n）=ψα*ψβ，ψα和ψβ為一維離散分?jǐn)?shù)傅立葉變換的核函數(shù)。

二、圖像的加密和解密算法

本文提出的圖像加密流程如圖1所示。首先使用相位函數(shù)ej2dr與圖像I(i，j)相乘進(jìn)行相位編碼，其中φ1，φ2，φ3均是均值為0、方差為1的隨機(jī)矩陣，該矩陣和圖像大小一致。相位編碼后，選取g = n時(shí)的分?jǐn)?shù)傅立葉變換方式進(jìn)行階次為(P1，P2)的第一級(jí)加密，產(chǎn)生I1(i，j)。隨后分別產(chǎn)生隨機(jī)矩陣φ2，φ3，來進(jìn)行相位編碼，使用（n +8）、(3n)作為生成序列g(shù)n，選取(P3，P4)和(P5，p6)作為分?jǐn)?shù)傅立葉變換的階次進(jìn)行第2級(jí)和第3級(jí)加密，最后得到加密后的圖像I3(i，j)。

在對圖像進(jìn)行解密時(shí)，必須知道進(jìn)行各級(jí)相位編碼的隨機(jī)矩陣φi(i=1.2，3)，各級(jí)分?jǐn)?shù)傅立葉變換的生成序列g(shù)n以及每次進(jìn)行二維分?jǐn)?shù)傅立葉變換的階次(pi，pj)，才能獲取正確的解密圖像。

三、仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

仿真實(shí)驗(yàn)中，我們選取256×256的Jena灰度圖像I(i，j)作為測試圖像，如圖2(a)所示．隨機(jī)產(chǎn)生φi(i=1，2，3),選取3次二維分?jǐn)?shù)傅立葉變換的階次均為(0.88，1.06)。加密后的圖像如圖2(b)所示，在獲取正確密鑰時(shí)，解密后可以得到和圖2(a)相同的圖像。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在解密過程中，第3級(jí)的分?jǐn)?shù)傅立葉變換階次（- P5，- p6）敏感度最強(qiáng)，只要它有微小的改變，即使在其他2級(jí)變換階次（-p3，- P4），(-P1，- P2)，隨機(jī)矩陣φ2，φ1和2個(gè)生成序列g(shù)n全部都正確，也無法得到正確的解密圖像。當(dāng)選的p5= 0.78，P6=1.06，且其他密鑰均選取正確數(shù)值，解密后的圖像(如圖2(c)所示）和原始圖像相差甚遠(yuǎn)。圖2(d)顯示了P1，P3，p5的偏離對解密圖像帶來的影響。圖2(d)中的橫坐標(biāo)為各級(jí)變換階次的偏離量，縱坐標(biāo)是解密后圖像的均方誤差(MSE)，具體算法為：

式中，I(i，j)和I'(i，j)分別為原始輸入圖像和解密后的圖像，從圖2(d)中可以看出在解密過程中p5的微弱偏離帶來的圖像失真最多。所以隨著變換級(jí)數(shù)的增多，最后一級(jí)的變換階次的敏感度也會(huì)逐漸增強(qiáng)，算法的安全性也會(huì)大大提高。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了基于分?jǐn)?shù)傅立葉變換生成序列多樣性的圖像加密算法的有效性、安全性，并說明隨著變換級(jí)數(shù)的增多，算法的安全性也將得到更大的提高，在信息安全領(lǐng)域也將有著廣闊的發(fā)展前景。

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