我們利用單層小波變換的壓縮感知算法的特點，提出了一種基于斜帳篷映射的混沌圖像加密系統(tǒng)的改進方法。這種方法加密時，首先應(yīng)用基于單層小波變換的壓縮感知算法對圖像進行初始化，然后對初始化后的圖像加密。解密時，首先進行加密映射的反變換解密，然后利用正交匹配追蹤算法OMP）對高頻系數(shù)進行恢復(fù)，最后再進行小波反變換重構(gòu)圖像。

一、壓縮感知理論概述

傳統(tǒng)的信號獲取和處理過程主要包括采樣、壓縮、傳輸和解壓四個部分，在采樣過程必須滿足奈奎斯特采樣定律，fs≥2fmax。即采樣頻率不能低于信號帶寬的2倍。

近些年來出現(xiàn)了一種新的理論-compressed sens-ing戧CS，compresslve sampling)，即壓縮感知，或者壓縮采樣。而壓縮感知核心思想是將壓縮與采樣合并進行，其利用其他變換空間描述信號，使得在保證信息不損失的情況下，用遠低于采樣定理要求的速率采樣信號的同時，又可完全恢復(fù)信號，即將對信號的采樣轉(zhuǎn)變?yōu)閷π畔⒌牟蓸?。主要包括信號的稀疏表示、編碼測量和重構(gòu)算法三個方面。

信號的稀疏表示是如果長度為N的信號X，在變換域φ中只有K個系數(shù)不為零或者明顯大于其他系數(shù)），且K《N，那么可以認為信號X在西域中是稀疏的并可稱為K-稀疏。這是壓縮感知的條件，即信號必須可以稀疏表示。常用的稀疏表示方法有離散余弦變換基、小波變換基等。

在編碼測量中，文獻即指出，測量矩陣必須滿足RIP (restricted isometry property)準(zhǔn)則，這個性質(zhì)保證了觀測矩陣不會把兩個不同的K稀疏信號映射到同一個集合中。最后，運用重構(gòu)算法由測量值及投影矩陣重構(gòu)出原始信號。信號重構(gòu)過程一般轉(zhuǎn)換為一個最小lo范數(shù)的優(yōu)化問題，目前的求解算法有匹配追蹤法、正交匹配追蹤法(OMP)圈、梯度投影法GP）、鏈?zhǔn)阶粉櫡ǖ取?/p>

二、基于離散斜帳篷映射的混沌加密理論

1、離散斜帳篷映射

帳篷映射是一種簡單的混沌系統(tǒng)，對初值的敏感性和迭代軌道序列的相關(guān)性以指數(shù)遞減，其軌道序列可以視為貝努利序列，即具有很強的偽隨機特性，可以直接用于對信息的加密。

斜帳篷映射是一種推廣的帳篷映射，其定義為：

其中a∈（0，1）時系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

一般的混沌映射是多對一的映射，我們提出了一種對混沌映射做一一對應(yīng)的離散化的一般方法，加密和解密計算將在有限整數(shù)集合上進行，不受精度約束，實現(xiàn)更加快速。其離散化映射定義為：

2、正弦迭代映射

文中加密采用的另一個混沌系統(tǒng)為式（3）描述的正弦迭代映射系統(tǒng)：

其中1 <b∈R，系統(tǒng)初值X0∈R且0<xo<10由式（3）產(chǎn)生的系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)是Inb>O，因而該系統(tǒng)是混沌的。

3、圖像像素值替代算法

現(xiàn)有一幅大小為M×N具有L級灰度的圖像，設(shè)（i，j）坐標(biāo)處的像素值為I（i，j），其中1≤i≤M，1≤j≤n，則（i，j）坐標(biāo)處的像素值經(jīng)替代操作后變?yōu)镮（i，j），即要求設(shè)計一個映射f使得：

為了使替代操作后的像素值，I（i，j）具有不可預(yù)測性，替代操作可以由下式表示：

其中Key（i，j）由式（6）的離散混沌系統(tǒng)產(chǎn)生。為了使用于加密的混沌序列對初始值更加敏感，文中采用正弦迭代預(yù)迭代3000次后的值作為式（6）的初值。Key（i，j）具體的值由下面的公式產(chǎn)生：

其中函數(shù)round（x）表示取與戈最接近的整數(shù)值，利用式（5）實現(xiàn)像素值的替代加密，對所有的像素點（i，j）處的像素值完成替代操作后，即完成了替代操作。

三、加密算法設(shè)計

常用的圖像文件加密方法有兩種：圖像置亂和圖像像素值變換。文中提出的是一種混沌空間域圖像加密算法，第一步為了加快加密過程、節(jié)省加密的時間和復(fù)雜度先利用基于小波變換的壓縮感知算法對圖像進行初始化。第二步利用離散斜帳篷映射結(jié)合正弦迭代混沌系統(tǒng)對圖像通過多次迭代運算實現(xiàn)圖像文件加密。

1、 圖像初始化

在本加密算法中，首先利用基于單層小波變換的壓縮感知理論對圖像進行初始化，其操作如下：

步驟1首先將M×N圖像分解成N×N的子圖像塊，然后對N×N的子圖像進行單層小波分解，得到{LH1，HL1，HH1，LH1}4個小波子帶系數(shù)。

步驟2選擇合適的M值，構(gòu)造M×N/2大小的服從（0.1／N）高斯分布的測量矩陣Φ分別對LH1，HL1，HH1進行測量，得到相應(yīng)子帶的測量系數(shù)值矩陣，保持低頻LL1子帶系數(shù)不變。

2、圖像像素值變換

利用前面介紹的像素值替代法對圖像的像素點進行圖像像素值變換。

3、圖像置亂

1）采用式（3）的正弦迭代混沌系統(tǒng)產(chǎn)生混沌序列{x1，x2，…，xm}，將實值序列{x1，x2，…，xm}中的N個混沌值排列，形成一個新的混沌序列{x1，x2，…，xm}，那么原序列{x1，x2，…，xm}中每一個值xi在新序列{x1，x2，…，xm}中都有與之對應(yīng)的一個位置編號，因此獲得相應(yīng)的位置編號序列{a1，a2，…，am}，其中ai為{1，2，…，M}中的一個值。

2)采用式（2）的離散斜帳篷混沌映射，產(chǎn)生混沌序列{y1，y2，…，yn}，運用步驟（1）中的方法，獲得相應(yīng)的組成位置編號序列{b1，b2，…，bN}，其中bi為集合{1，2，…，N}中的一個值。

3)將經(jīng)過像素值替代操作后的像素點置亂到位置(ax，by)，重復(fù)多次，完成像素位置的置亂。

4、迭代加密

為了使輸出的密文對明文和密鑰充分敏感，將替代設(shè)計與置換設(shè)計重復(fù)進行多輪迭代。

5、解密算法實現(xiàn)

步驟1加密的逆過程，輸入正確的密鑰后，將加密算法逆向運算，即可獲得解密圖像。

步驟2利用OMP算法分別重構(gòu)經(jīng)過測量后的3個高頻系數(shù)矩陣，并結(jié)合LL1子帶進行小波反變換恢復(fù)圖像。

四、實驗分析

選擇256×256的lena圖像，運用Matlab實現(xiàn)計算機仿真，將圖像分解成8×8的子圖像塊，在Matlab下進行加密算法實驗，其仿真實驗效果如圖1所示。

1、效率分析

從明文看，加密圖像需要進行預(yù)處理，這樣不但沒有增加加密／解密所需時間，加密圖像的安全性反而得到增加，進而也增加了加密圖像被攻擊破譯的難度。

2、統(tǒng)計特性分析

由圖2可知，原始圖像的直方圖變化起伏大且呈不均勻分布，經(jīng)離散斜帳篷映射算法加密后圖像的直方圖與原始圖像的直方圖相比要平坦得多，用改進的加密算法加密后直方圖則更加平坦且密文灰度值分布均勻。密文的統(tǒng)計特征與明文的統(tǒng)計特征幾乎完全不同，明文的統(tǒng)計特性被擴散到了密文的均勻分布中，明文和密文的相關(guān)性大大降低。

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