為了克服基于相位截?cái)喔道锶~變換的非對(duì)稱光學(xué)圖像加密系統(tǒng)不能抵御已知明文攻擊的缺陷，我們采用球面波的自帶因子擾亂輸入圖像空間信息的方法實(shí)現(xiàn)圖像的加密和解密，這樣既能抵御已知明文攻擊，又能獲得同樣的加密效果和省掉輸入面的隨機(jī)相位掩膜，同時(shí)，在實(shí)際操作中還能減少光能的損失和相應(yīng)的噪聲。

一、基于相位截?cái)喔道锶~變換的非對(duì)稱加密系統(tǒng)

基于相位截?cái)喔道锶~變換的非對(duì)稱加密系統(tǒng)利用4f系統(tǒng)來實(shí)現(xiàn)。加密時(shí)，輸入圖像P(x，y)在空域受到隨機(jī)相位掩膜R1(x，y)（輸入平面密鑰）的調(diào)制，經(jīng)過傅里葉變換，再經(jīng)過非線性的相位截?cái)嗖僮骱?，在頻域被隨機(jī)相位掩膜R2（u，v）（頻譜面密鑰）濾波，經(jīng)過逆傅里葉變換和非線性的相位截?cái)嗖僮骱?，在輸出平面上得到密文，式中，?x，y)表示頻域密文，R1(x，y)和R2（u，v）分別定義為exp[i2πb(x，y)]和exp[i2πb(u，v)]，b(x，y)和n(u，v)是均勻分布在[O，1]上的兩個(gè)獨(dú)立噪聲序列，T，F(xiàn)和F-1分別表示相位截?cái)嗖僮?、傅里葉變換和傅里葉逆變換。其兩個(gè)解密密鑰Wl(x，y)和W2（u，v）在加密過程中產(chǎn)生，式中，R表示振幅截?cái)嗖僮鳌?/p>

解密時(shí)將密文ψ(x，y)置于4系統(tǒng)的輸入平面，在空域受到解密密鑰W1(x，y)調(diào)制，經(jīng)傅里葉變換和相位截?cái)嗖僮骱?，在頻譜平面上用解密密鑰W2(u，v)濾波，再經(jīng)逆傅里葉變換和相位截?cái)嗖僮?，即可恢?fù)出明文P(x，y)，產(chǎn)生過程如下：

通過分析(2)式和(3)式，解密密鑰與原始圖像P(x，y)和兩個(gè)相位掩膜R1(x，y)和R2(u，v)相關(guān)。因此，任意選擇的隨機(jī)相位掩膜或者密鑰都可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的解密。但是，使用公開的隨機(jī)相位掩膜（R1(x，y)）和R2（u，v））和任意給定的明文·密文對(duì)，根據(jù)已知明文攻擊原理，發(fā)現(xiàn)使用任意給定的明文、密文對(duì)獲得的解密密鑰去解密某個(gè)待解密的密文能獲得原文。由此，我們從安全性的角度對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，利用不同的球面波照射輸入平面和傅里葉平面加密不同的明文抵御已知明文攻擊，既能獲得原非對(duì)稱加密系統(tǒng)同樣的圖像加解密效果，又能省去輸入平面處的相位掩膜。

二、球面波照射下的非對(duì)稱加密系統(tǒng)

提出的球面波照射下的非對(duì)稱加密系統(tǒng)流程如圖1所示，圖中圓表示乘法操作。首先，輸入的圖像P(x，y)被球面波S1（x，y）照射，在緊靠輸入平面后面得到的復(fù)振幅分布為P(x，y)，S1（x，y），其中，S1（x，y）為球面波，其表達(dá)式表示為：

式中，c，K=2π/λ和z分別表示為一個(gè)無關(guān)緊要的可以忽略的系數(shù)、波數(shù)和球面波半徑。由于S1（x，y）和隨機(jī)相位掩膜R1（x，y）一樣也是相位函數(shù)，因此它也具有擾亂輸入圖像空間信息的作用，這樣用球面波照射輸入圖像所獲得的效果與使用平行光照射輸入圖像再通過隨機(jī)相位掩膜R1（x，y）調(diào)制產(chǎn)生的效果一樣。由此，就可以使用球面波本身所攜帶的相位因子來代替隨機(jī)相位掩膜R1（x，y），這樣做不僅不會(huì)影響圖像的解密，還能使得對(duì)于不同的明文，采用不同的球面波照射，既避免了巳知明文攻擊，又在輸入平面省掉了一塊隨機(jī)相位掩膜。這樣，輸入圖像在空域內(nèi)被球面波S1（x，y）所調(diào)制，完成空間域的編碼，然后對(duì)調(diào)制后的物面波函數(shù)Sm（x，y）進(jìn)行傅里葉變換和符I位截?cái)嗖僮鞯玫剑?/p>

最后，在頻譜面上依然用同樣的球面波照射，并用一個(gè)隨機(jī)棚位掩膜R2(u，v)對(duì)其濾波，再進(jìn)行一次傅里葉逆變換和相位截?cái)嗖僮?，得到最后的加密圖像式中，S2(u，v)的定義如(5)式所示，R2(u，v)為exp[jφ(u，v)]，φ(u，v)表示均勻分布在（O，2π）的彼此獨(dú)立的隨機(jī)函數(shù)，(u，v)為頻率域坐標(biāo)。同時(shí)，兩個(gè)解密密鑰在加密過程中通過振幅截?cái)嗖僮鳙@得將密文ψ（x，y）置于輸入面，使用解密密鑰W1（x，y）對(duì)其濾波，經(jīng)過傅里葉變換和相位截?cái)嗖僮鞯玫剑?/p>

再對(duì)G1(u，v)使用解密密鑰W2(u，v)對(duì)其濾波，經(jīng)過傅里葉逆變換和棚位截?cái)嗖僮鞯玫皆瓐D像，過程為由于使用非線性的相位截?cái)嗖僮?，在解密過程中，對(duì)于獲得正確的解密結(jié)果并不需要球面波S1（x，y）與加密密鑰R2(u，v)。同時(shí)，在整個(gè)加密過程中，僅僅改變照明方式，由平行光改為球面波照射，且在輸入面省略一塊隨機(jī)相位掩膜，而解密過程與原基于PTFT的加密系統(tǒng)的解密過程一樣。由此，通過對(duì)于不同的明文使用不同的球面波照射（通過更改球面波的半徑或波長）既能避免被已知明文攻擊，又能保持非對(duì)稱加密系統(tǒng)所具有的非線性特性，還能在實(shí)際操作中減少光能的損失和相應(yīng)的噪聲。

三、計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證方法的可行性，作者進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，并對(duì)兩種方法所獲得的結(jié)果進(jìn)行了比較，見圖2。實(shí)驗(yàn)中，采用波長為600nm的會(huì)聚球面波來照射，球面波的半徑為4cm，取圖像的尺度為2cm×2cm。像素為256 x256，在MATLAB 7.O下仿真。圖2a為原始圖像。圖2b一圖2e分別是對(duì)基于PTFT的非對(duì)稱加密系統(tǒng)和基于球面波照射的非對(duì)稱加密系統(tǒng)對(duì)灰度圖像進(jìn)行加密和解密所得的仿真結(jié)果。分別對(duì)比圖2b、圖2d和圖2c、圖2e可以看出，用球面波自帶的相位因子取代輸入面密鑰R1（x，y）及頻譜面密鑰R2（u，v）結(jié)合進(jìn)行圖像加密和解密的效果與基于PTFT的非對(duì)稱加密系統(tǒng)加密和解密效果一樣。

圖2f一圖2k證明基于球面波照射的非對(duì)稱加密系統(tǒng)與基于PTFT的非對(duì)稱加密系統(tǒng)同樣能抵御無密鑰解密、任選隨機(jī)相位解密和加密密鑰解密。圖2f一圖2h分別顯示基于PTFT的非對(duì)稱加密系統(tǒng)抵御無密鑰解密、任選隨機(jī)相位解密和加密密鑰解密的仿真結(jié)果；圖2i一圖2k分別顯示基于球面波照射的非對(duì)稱加密系統(tǒng)抵御無密鑰解密、任選隨機(jī)相位解密和加密密鑰解密的仿真結(jié)果。

圖2l-圖2p是基于PTFT的非對(duì)稱加密系統(tǒng)和基于球面波照射的非對(duì)稱加密系統(tǒng)進(jìn)行已知明文攻擊的仿真結(jié)果。圖2l顯示基于PTFT的非對(duì)稱加密系統(tǒng)進(jìn)行已知明文攻擊的仿真結(jié)果；圖2m是圖2l使用數(shù)字方法（盲去卷積）處理后的解密結(jié)果；圖2n是已知的明文；圖2o顯示基于球面波照射的非對(duì)稱加密系統(tǒng)進(jìn)行已知明文攻擊的仿真結(jié)果；圖2p是圖2o經(jīng)過與圖2m同樣的處理技術(shù)處理后的解密結(jié)果。從圖2l和圖2m可以很明顯地得到基于PTFT的非對(duì)稱加密系統(tǒng)不能抵御已知明文攻擊，而圖2o和圖2p證明了基于球面波照射的非對(duì)稱加密系統(tǒng)雖然只使用了一塊相位掩膜R2（u，v），但是由于采用球面波照射，球面波的相位因子替代輸入面的隨機(jī)相位掩膜，擾亂輸入圖像的空間信息，卻能很好地抵御已知明文攻擊。

從圖2l-圖2p的仿真結(jié)果可以很顯然地得出：在不知道球面波任何信息的情況下是無法使用已知明文攻擊獲得明文的。但是，攻擊者在已知加密算法和公鑰的情況下，可能通過任意選擇球面波使用已知明文攻擊原理來恢復(fù)明文。因此，有必要研究波長和半徑的變化對(duì)攻擊結(jié)果的靈敏度問題。為了進(jìn)一步說明波長和半徑的變化對(duì)攻擊結(jié)果的靈敏度，使用均方誤差（mean-square error，MSE）來說明：

式中，L表示圖像中像素點(diǎn)的總個(gè)數(shù)，fi和fi’分別表示圖像中的某個(gè)像素點(diǎn)灰度值和對(duì)應(yīng)的恢復(fù)結(jié)果值。首先，為了說明波長的靈敏度問題，僅僅修改球面波的波長從- 4nm到4nm，步長Δλ=0.5nm，而保持球面波的半徑不變(即球面波半徑為4cm)。原始圖像與攻擊結(jié)果間的MSE與波長的變化關(guān)系如圖3a所示。圖3a顯示攻擊結(jié)果對(duì)于波長的變化非常敏感。同樣，為了說明半徑的靈敏度問題，僅僅修改球面波的半徑從- 100μm到lOOμm，步長Δz=lμm，而保持球面波的波長不變（即球面波波長為600nm）。原始圖像與攻擊結(jié)果間的MSE與半徑的變化關(guān)系如圖3b所示。圖3b顯示MSE隨著|z|的增加而增加。由上面的結(jié)果可知，攻擊者即使任意選擇球面波也無法恢復(fù)原文。

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