針對(duì)混沌映射會(huì)產(chǎn)生瞬態(tài)效應(yīng)，且低維、單峰混沌映射加密算法存在密鑰空間小，安全性低等缺點(diǎn)，為此我們提出一個(gè)新的雅克比橢圈混沌映射來(lái)加密圖像，并將位置集合置亂方法與加密變換函散引入到圖像文件加密算法中。

1、雅克比橢圓映射

具有不變測(cè)度的雅克比橢圓有理映射可定義為N次多項(xiàng)式比值，如模型(1)所示。其中的單參數(shù)集合所處區(qū)間為[0，1]。

其中，由sn、dn以及cn來(lái)替代F:

以上關(guān)系可表示為：

從上述可知，雅克比橢圓映射函數(shù)sn(u)與變量址和模量K有關(guān)。映射r為(N-1)個(gè)節(jié)點(diǎn)映射，也就是說(shuō)該映射在單位間隔[0，l]中有(N-l)個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，它們具有一介穩(wěn)定固定點(diǎn)或遍歷行為，如圖l所示。

對(duì)式(1)進(jìn)行求8chwarziall導(dǎo)數(shù)，得到如下模型：

由上述公式可知，這個(gè)Bchwarzian導(dǎo)數(shù)是負(fù)的，限制了穩(wěn)定周期軌道的數(shù)量，具有負(fù)schwarzian導(dǎo)數(shù)的單峰映射最多有一個(gè)穩(wěn)定的周期軌道；另外，如果關(guān)鍵點(diǎn)沒(méi)有吸引到穩(wěn)定的周期軌道，那么這個(gè)映射就不會(huì)有穩(wěn)定軌道。因此，映射r最多有(Ⅳ+1)個(gè)吸引周期軌道，它們只有單周期的一個(gè)穩(wěn)定固定點(diǎn)或者它們是遍歷映射。

根據(jù)雅克比橢圓映射(1)，可得如下映射模型：

其中，k代表雅克比橢圓函數(shù)的參數(shù)。對(duì)于上述函數(shù)的某個(gè)具體參數(shù)而言，橢圓混沌映射是遍歷的。和其它普通映射相反，由于上述映射的參數(shù)是變換的，因此它們并沒(méi)有顯示倍周期，周期N分岔或者逐步過(guò)渡到混沌狀態(tài)，而是在參數(shù)的某個(gè)固定區(qū)域內(nèi)，它們擁有單個(gè)固定點(diǎn)吸引子，對(duì)于那些Lyapunovz指數(shù)是正的參數(shù)值而言，它們無(wú)需精確的周期N分岔就可以直接分岔到混沌狀態(tài)。

1、Lyapunovz指數(shù)

圖像加密算法應(yīng)該擁有姣好的初值敏感性。Lyapunovz指數(shù)是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中混沌的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。在對(duì)雅克比橢圓映射迭代計(jì)算之后，考慮相鄰的兩個(gè)點(diǎn)x0與（x0+θ），可將其Lyapunovz指數(shù)定義如下：

或者

很顯然，這些負(fù)值表明這個(gè)系統(tǒng)是處于吸引子體系中，而它們的正值則暗示了這個(gè)系統(tǒng)是可預(yù)測(cè)的。Lyapunovz指數(shù)的數(shù)量與初始點(diǎn)Xo無(wú)關(guān)，它表明了在不變流形范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)是遍歷的，因此λ（Xo）是把雅克比橢圓映射的不變流形表征為一個(gè)整體。對(duì)于雅克比橢圓映射而言，其不變測(cè)度和Kolmogorov - Sinai (KS)熵已經(jīng)得到了計(jì)算分析。在本文中，Lyapunovz指數(shù)是數(shù)值計(jì)算的，見(jiàn)圖l。對(duì)于方程(10)一(11)而言，根據(jù)Birkhoff遍歷定理可知，其極限在某些輕微的限制條件下是存在的。對(duì)初值條件的敏感性可通過(guò)LyapunoVz指數(shù)來(lái)預(yù)測(cè)。鑒于此，對(duì)于混沌加密系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，控制參數(shù)值必須按照正Lyapunovz指數(shù)來(lái)選擇，對(duì)于所有控制參數(shù)值而言，使用一個(gè)正Lyapunovz指數(shù)的混沌映射是非常重要的。因此，雅克比橢圓映射由于其具有多個(gè)正的Lyapunovz指數(shù)，是混沌加密系統(tǒng)的一個(gè)好選擇。為了區(qū)分雅克比橢圓映射控制參數(shù)的合理范圍，本文模擬了不同盧值對(duì)應(yīng)的Lyapunovz指數(shù)，如圖l所示。通過(guò)調(diào)整初值和控制參數(shù)能夠產(chǎn)生密鑰空間，將雅克比橢圓映射轉(zhuǎn)變?yōu)榛煦缬成洌梢愿淖兠荑€空間的大小。

二、基于雅克比橢圓映射的圖像加密算法

本文提出的圖像加密算法如圖2。

本文加密算法描述如下：

在映射模型(7)一(9)中，使用選擇模型(7)來(lái)對(duì)圖像進(jìn)行加密：

本文所提出的加密算法由以下步驟構(gòu)成：

步驟l：輸入初始明文圖像Lmxn，將其轉(zhuǎn)變成一維陣列Lmxnxl，該陣列中的每個(gè)元素都是8bit；

步驟2：設(shè)定好初始條件Xo與控制參數(shù)K，β，將這些初始條件視為本文算法的密鑰，迭代雅克比橢圓映射1000次，并忽略迭代結(jié)果，從而有效地消除了映射的瞬態(tài)效應(yīng)。

步驟3：為了使控制參數(shù)與初值Xo相聯(lián)系，增強(qiáng)算法的抗攻擊性能與敏感性能，根據(jù)加密變換函數(shù)得到的M(i)以及初值Xo通過(guò)簡(jiǎn)單的乘除運(yùn)算，改變控制參數(shù)K，β得到新的初始條件（x0，K’，β’），并再次迭代雅克比橢圓映射(5)m×n次，得到一維陣列P={XI，Xz，X3…xmxn}t，加密變換函數(shù)：

步驟4：對(duì)陣列P={X1，X2，X3…xmxn}t中的值按照從小到大的順序進(jìn)行排列，得到一組新的陣列H={X1，X2，X3…xmxn}t。

步驟5：在P={X1，X2，X3…xmxn}t中找出H={X1，X2，X3…xmxn}t的位置，形成一個(gè)位置集合S={S1，S2，S3…Smxn}t。其中：

步驟6：使用集合S對(duì)初始圖像進(jìn)行置亂處理，得到置亂圖像P'。

步驟7：利用密鑰流機(jī)制量化步驟3得到的一位陣列P，得到與之相應(yīng)的數(shù)組V，得到序列V={VX1，VX2，VX3…Vxmxn}t，計(jì)算公式如下：

其中，abs(φi)代表的是|x|，round(X)代表的是對(duì)X進(jìn)行取整,tloor(X)代表的是與X相距最小的X整數(shù)(≤x) mod(X,y)代表的是X對(duì)y取余；d代表的是圖像的灰度級(jí)別；

步驟8：利用經(jīng)過(guò)密鑰機(jī)制處理得到的新序列V={VX1，VX2，VX3…Vxmxn}t再次應(yīng)用加密變換函數(shù)(12)對(duì)置亂后的圖像中的每個(gè)元素進(jìn)行加密，得到一維密文陣列M(mxn)x1 ={M1，M2…Mmxn}t，改變圖像中任意像素點(diǎn)的像素值。

步驟9：重復(fù)步驟2。步驟8，直到所有的元素加密完畢。

步驟10：把密文陣列M(mxn)x1 轉(zhuǎn)變成M(mxn)，輸出矩陣，將其作為密文圖像。

圖像解密是加密的逆過(guò)程。

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