淺析基于矩陣變換 /像素置換的圖像加密技術(shù)
ice 靜止圖像可以看做是平面區(qū)域上的二元連續(xù)函數(shù)：
Z =f(x，y) ，0≤ x≤ Lx；0≤ y≤ Ly
對(duì)區(qū)域中任意的點(diǎn) (x，y) ，則 f(x，y)代表圖像在這一點(diǎn)的灰度值 ，與圖像在這一點(diǎn)的亮度相對(duì)應(yīng) 。并且圖像的亮度值是有限的 ，因而函數(shù) Z=f(x，y)也是有界的 。在圖像數(shù)字化之后 ，Z=f(x，y)則相應(yīng)于一個(gè)矩陣 ，矩陣的元素所在的行與列就是圖像顯示在計(jì)算機(jī)屏幕上諸像素點(diǎn)的坐標(biāo) ，元素的數(shù)值就是該像素的灰度 。矩陣的初等變換可以將一幅圖像變換成另一種圖像 ，但它的缺點(diǎn)是像素置亂作用較差 ，因而保密性不高 。圖像加密主要采用以下幾種方法 。
基于矩陣變換 /像素置換的圖像加密技術(shù)
1、Arnold變換
設(shè)像素的坐標(biāo) x，y∈ S={ 0 ，1 ，2 ，… ，N - 1 } ，Arnold變換為x′y′=1 11 2xy (mod N ) ，x，y∈ S。
記變換中的矩陣為 A，反復(fù)進(jìn)行這一變換 ，則有迭代公式 ：
Qn+1 ij =AQnij(mod N ) ，n =0 ，1 ，2… ，
其中 ：Q0ij∈ S，Qnij=(i，j) T 為迭代第 n步時(shí)點(diǎn)的位置 。
Arnold變換可以看做是裁剪和拼接的過(guò)程 。通過(guò)這一過(guò)程將離散化的數(shù)字圖像矩陣 S中的點(diǎn)重新排列 。由于離散數(shù)字圖像是有限點(diǎn)集 ，這種反復(fù)變換的結(jié)果 ，在開(kāi)始階段 S中像素點(diǎn)的位置變化會(huì)出現(xiàn)相當(dāng)程度的混亂 ，但由于動(dòng)力系統(tǒng)固有的特性 ，在迭代進(jìn)行到一定步數(shù)時(shí)會(huì)恢復(fù)到原來(lái)的位置 ，即變換具有龐加萊回復(fù)性 。這樣 ，只要知道加密算法 ，按照密文空間的任意一個(gè)狀態(tài)來(lái)進(jìn)行迭代 ，都會(huì)在有限步內(nèi)恢復(fù)出明文 。這種攻擊對(duì)于現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)其計(jì)算時(shí)間是很短的 ，因而其保密性不高 。
2、按幻方做圖像像素置亂變換
假設(shè)數(shù)字圖像相應(yīng)于 n階數(shù)字矩陣 B，對(duì)取定的 n階幻方 An× n，將 B與 A按行列做一一對(duì)應(yīng) 。把A中的元素 1移到元素 2的位置 ，將元素 2移到 3的位置等等 ，依此規(guī)律進(jìn)行 ，并把第 n2元素移到 1 。經(jīng)過(guò)這樣的置換后 ，矩陣 A變成了矩陣 A1 ，記為 A1=EA，對(duì) A1 來(lái)說(shuō)可以重復(fù)上述過(guò)程 ，得 A2 =EA1… ，這便是一系列的置換 。經(jīng)過(guò) n2步 ，則 An2 =A。對(duì)于數(shù)字圖像矩陣 B，注意它與矩陣 A元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 ，隨 A轉(zhuǎn)換為 A1 而把 B中對(duì)應(yīng)像素的灰度值做相應(yīng)的移置 ，產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的數(shù)字圖像矩陣 B1 ，記為 EB=B1 。一般地 ，有 Em B=Bm。經(jīng)過(guò)這種對(duì)圖像像素的置換 ，打亂了像素在圖像中的排列位置 ，從而達(dá)到加密的目的 。這種變換實(shí)質(zhì)上是矩陣的初等變換 ，并且由于幻方矩陣是一有限維矩陣 ，經(jīng)過(guò) n2 次置換 ，又會(huì)回到原來(lái)的位置 ，因而也可以用 (1 )所述的方法加以破譯 ，因而其加密效果也是不好的 。但若能把初等矩陣變換轉(zhuǎn)化為某種非線性變換則有可能增強(qiáng)置亂效果 ，再結(jié)合其它的現(xiàn)代密碼學(xué)的一些成熟的加密算法 ，如 DES，RSA等則可以增加算法的保密性 。
基于置亂技術(shù)的圖像加密技術(shù)總體上來(lái)說(shuō)可以等效為對(duì)圖像矩陣進(jìn)行有限步的初等矩陣變換 ，從而打亂圖像像素的排列位置 。但初等矩陣變換是一線性變換 ，其保密性不高 。而且基于 Arnold變換的加密算法和基于幻方的加密算法是不能公開(kāi)的 ，這是因?yàn)樗募用芩惴ê兔荑€沒(méi)有有效地分開(kāi) ，這和現(xiàn)代密碼體制的要求是不相容的 ，即它不符合 Kerckhoffs準(zhǔn)則 ，屬于古典密碼體制的范疇 。在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)該加以適當(dāng)?shù)母倪M(jìn) ，一是使這類加密算法的保密性提高 ；二是要使這類加密算法符合 Kerckhoffs準(zhǔn)則 ，適應(yīng)現(xiàn)代密碼學(xué)的要求 。另外 ，基于 Arnold變換的圖像加密算法還有其動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的龐加萊回復(fù)特性 ，而幻方矩陣也是由有限域上的元素所組成的 ，因而都容易受到唯密文迭代攻擊 ，因而從根本上來(lái)說(shuō)這類算法是不能公開(kāi)的 。從加密算法不能公開(kāi)、秘密不是完全寓于密鑰這一點(diǎn)來(lái)看 ，這類加密算法是屬于被淘汰之列的 ，除非它們能和其它加密算法有效地結(jié)合 ，從而符合現(xiàn)代加密體制的規(guī)范 。
