針對混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列具有遍歷性、偽隨機(jī)性、對初始條件（值）和系統(tǒng)參數(shù)敏感以及具有類似白噪聲等特點，提出了一種利用多個混沌系統(tǒng)結(jié)合的方法對彩色圖像進(jìn)行加密的算法，首先利用Arnold變換對圖像進(jìn)行像索置換，然后利用統(tǒng)一混沌系統(tǒng)對圖像像素加密處理，在加密的過程中利用Logistic混沌系統(tǒng)對統(tǒng)一混沌系統(tǒng)序列進(jìn)行亂序處理。

一、Arnold映射

眾所周知，圖像相鄰像素之間有著非常強(qiáng)的相關(guān)性，大量的統(tǒng)計分析表明一幅圖像相鄰的水平，垂直或?qū)蔷€的8到16個像素之間存在著強(qiáng)相關(guān)性。為減少這些像素之間的這種強(qiáng)相關(guān)性，我們采用了Arnold變換來置換圖像像素的位置關(guān)系來降低像素之間的相關(guān)性。

假設(shè)原始圖像I是大小為N×N，灰度級為256的灰度圖，圖像像素的坐標(biāo)表示為C={(x，y)|x，y=O，1，2，…．N-1}，則Arnold變換可表述為：

其中p和q為正整數(shù)，x和y為原圖像像素的位置。x’和y’為變換后圖像像素新的位置。當(dāng)對圖像進(jìn)行n次Arnold變換，即：

不斷地改變圖像像素之間的位置，使得原圖變得混亂不堪。

若再進(jìn)行若干次Arnold變換后，原圖可能被還原，即Arnold變換具有一定的周期性。因此為了增強(qiáng)圖像的加密效果，一般還需要與其他變換結(jié)合來使用。

二、統(tǒng)一混沌系統(tǒng)

其作為Lorenz系統(tǒng)、Lǖ系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)之間的橋梁，因此統(tǒng)一混沌系統(tǒng)是更為一般意義上的混沌系統(tǒng)。該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其中，x，y，z和α為實數(shù)，當(dāng)α∈[O，1]時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

特別，當(dāng)α=0時，式(3)是Lorenz系統(tǒng)，當(dāng)α=1時，式(3)為Chen系統(tǒng)；當(dāng)α∈[o，1]之間時，系統(tǒng)為統(tǒng)一混沌系統(tǒng)。因此統(tǒng)一混沌系統(tǒng)表現(xiàn)出更加復(fù)雜的動態(tài)行為。

圖1是當(dāng)α=0.5，x=10，y=12和z=12時，統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的時序圖。

三、Logistlc混沌系統(tǒng)

Logistic是比較早被人們研究的一類混沌系統(tǒng)，其具有表達(dá)形式簡單，易實現(xiàn)等優(yōu)點被廣泛使用在多種場合，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其中0≤μ≤4為分岔參數(shù)，xk∈(0.1)，當(dāng)3.5699456…<μ≤4.0000時，Logistic系統(tǒng)將表現(xiàn)為混沌性，此時產(chǎn)生的序列（xk，k=0，1, 2,3，…）為混沌序列。

圖2是當(dāng)x=0.6時，Logistic系統(tǒng)隨μ的分岔圖，從圖中可以看出系統(tǒng)隨μ的增加，系統(tǒng)將表現(xiàn)出非常復(fù)雜和豐富的動態(tài)行為，特別當(dāng)μ=4時系統(tǒng)；進(jìn)入到混沌系統(tǒng)。

圖3是當(dāng)μ=4、x=0.6時，Logistic混沌系統(tǒng)的時序圖。

四、多混沌彩色圖像加密算法

多彩色圖像加密算法由3部分組成。首先利用Arnold變換對彩色圖像的原始圖像像素的位置進(jìn)行置亂變換，接著將統(tǒng)一混沌系統(tǒng)產(chǎn)生混沌序列，并將其轉(zhuǎn)為整數(shù)，然后利用Logistic混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的序列改變上面的整數(shù)序列順序，最后利用新的序列分別對彩色圖像的各層按順序依次進(jìn)行加密改變相應(yīng)層的像索灰度值。

1、Arnold對彩色圖像置亂

利用Arnold變換分別對原始彩色圖像的R，G，B層像素進(jìn)行置亂，其中迭代次數(shù)可以視為密鑰，為了減少運算，令p=1，q=1。

由于Arnold變換存在零點位置不變性，因此存在一定的安全隱患。為了克服零點位置不變性，首先對每一個圖層的原圖進(jìn)行，n次Arnold變換，然后再對Arnold變換后的中間圖進(jìn)行水平（或垂直）鏡像，接著進(jìn)行撒次Arnold變換。這樣零點位置也將被打亂，這樣同時又對圖像像素做了進(jìn)一步的混淆。

2、加密序列的生成

加密序列的生成由下列3個步驟組成，具體如下：

步驟1 由式(3)的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)在初始值{x1，y1，Z1}和設(shè)定好α值時使系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，即{x1，y1，Z1}和α值作為初始密鑰。再利用步長為0.001的4階Runge-Kutta數(shù)值算法不斷迭代計算獲得3個混沌序列X，y，Z，它們分別為：

其中n為圖像的大小，假設(shè)圖像大小為n=MXN，{x1，y1，Z1}為初始值，X，y，Z分別由{x1，y1，Z1}不斷迭代產(chǎn)生的集合。由于x1，y1，Z1都是實數(shù)集，不能直接用于圖像加密，還需進(jìn)一步處理，接著采用式(6)的方法對式(5)數(shù)集進(jìn)行處理而獲得介于0～255之間的整數(shù)。

其中int表示取整運算，mod表示取模運算，256為最大的圖像像素灰度值決定。abs表示絕對值。由此，R，G和B構(gòu)成了三個整數(shù)序列。

步驟2 由式(4)的Logistic混沌系統(tǒng)按式(7)的規(guī)則產(chǎn)生如下的一個整數(shù)序列。

其中Li=[ 4*4*xi* (1-xi)]，以為圖像的大小，xi為式(4)不斷迭代產(chǎn)生的數(shù)，xi為Logistic混沌系統(tǒng)的初始值，可以作為密鑰的一部分。符號[ l ]表示取不大于l的最大整數(shù)。由此可知，li∈u，U={0.1，2，3}。

步驟3利用式(7)產(chǎn)生的序列按式(8)規(guī)則對式(6)進(jìn)行變換處理，

其中Rxi∈R，Gyi∈G和Bzi∈B，符號→表示該符號的前后兩個數(shù)進(jìn)行交換。

經(jīng)過上述步驟后產(chǎn)生能夠用于加密彩色圖像的新序列。

3、彩色圖像文件加密

利用式(8)產(chǎn)生的新序列分別對彩色圖像的R、G和B層像素的灰度值分別按式(9)進(jìn)行操作：

其中符號+表示異或操作，Rxi，Gyi和Bzi是由式(8)在第f次產(chǎn)生的整數(shù)對，IRi，IGi和IBi，分別為原始圖像在第I個位置的R，G，B層像素灰度值，IRi'，IGi'和IBi'為加密后彩色圖像的像素值。

五、試驗仿真結(jié)果

下面對512×512大小的彩色Lena圖像采用前面所述算法進(jìn)行仿真。

1、Arnold變換仿真

利用按照前面介紹的Arnold變換算法對彩色Lena進(jìn)行置換處理，其中先鏡像n=10次Arnold變換，接著進(jìn)行網(wǎng)像水平鏡像，最后鏡像m=7次Arnold變換，仿真結(jié)果如圖4所示。

由如圖4所示的直方圖中可知Arnold只是將圖像的像素打亂，其灰度值并沒有發(fā)生變化。

2、加密序列的仿真

按照5.2節(jié)的方法，對統(tǒng)一混沌取x=1O，y=12，z=19和α=0.5作為初始值，代入式(3)并且不斷迭代生成混沌序列X，y，Z，它們長度都為圖像大小512X512。

假設(shè)Logistic混沌系統(tǒng)的初始密鑰為l=O.123456789，按照前述算法將獲得介于[0，3]之間的整數(shù)序列，其長度為圖像大小512×512。

3、彩色圖像加密仿真

對Arnold變換后的圖像，并利用獲得的加密序列進(jìn)行加密處理。如圖5所示，加密后圖像的R，G，B各層圖像變得無法閱讀，并且對應(yīng)的直方圖也變得非常平坦和均勻，顯然不同于原圖的直方圖，即表明加密后的圖像的灰度值完全地被均勻分布到整個灰度區(qū)間，所以加密后的圖像有著非常好的統(tǒng)計特性，從而能夠抵抗統(tǒng)計攻擊而使之變得無效。

下面測試彩色圖像加密速度，其測試結(jié)果如表1所示。

表明所提出的加密算法在加密速度上快于DES的加密速度。

上述仿真是在個人計算機(jī)環(huán)境下進(jìn)行測試的，其測試平臺配置為：CPU: Pentium 4 2.6G；內(nèi)存：512M；操作系統(tǒng)：Windows XP。基本測試圖像為512×512大小的彩色Lena圖像。

七、安全分析

下面對彩色圖像加密算法的安全分析從下面幾個方面來分析：相鄰像素的相關(guān)性、抗差分攻擊能力、一次一密、密鑰的空間以及密鑰敏感性等4方面，具體如下所述。

1、相鄰像素的相關(guān)性分析

下面是原圖與加密圖相鄰像素的相關(guān)性分析，分別隨機(jī)地從原始和加密后的圖像中取隨即取1500個相鄰像素對（水平，或垂直或?qū)蔷€）。圖6顯示的是原網(wǎng)與加密后圖像R層的水平相關(guān)分布圖。從左圖可以看出加密前的R層圖像的相關(guān)性很強(qiáng)，右圖2是加密的圖，其相鄰的像素完全均勻分布到了整個圖像空間。

對彩色圖像的B層和G層做了相同的測試，結(jié)果均與圖6相同。

為了計算像素的相關(guān)性，可以使用下面公式：

其中x和y是圖像中相鄰兩個的灰度值。

表2中顯示出它們之問的相關(guān)值，從中可知分析出：原網(wǎng)中相鄰兩個像素值之間的相關(guān)性很強(qiáng)，而加密后圖像相鄰兩像素之間的相關(guān)性卻減少到很低了。

2、抗差分攻擊能力分析

通常攻擊者可以通過對圖像作微小的改變來觀察加密的效果，這樣可能發(fā)現(xiàn)原始圖像與加密圖像之間的某種關(guān)系。但如果對原始圖像進(jìn)行微小的改變后導(dǎo)致加密圖像有很大的改變，這樣差分攻擊方法將失去作用。

為分析抗差分的攻擊能力，一般采用兩個參數(shù)對這種變換進(jìn)行描述，即像素變化率(NPCR)和平均變化強(qiáng)度(UCAl)。對于一幅原始圖像經(jīng)加密處理變?yōu)镃1，如果對原始圖像修改了一位像素的灰度值后再進(jìn)行相同條件下的加密處理變?yōu)镃2，比較灰度值矩陣C1和CZ所有點的值，如果兩點相同，即Ci(i，j)=Cz（i，j），則D(i，j)=l，否則D(i,
j)=0。NPCR和UCAI具體定義為：

其中M和N分別為圖像的長和寬。以彩色Lena圖像的RGB作為測試對象，假設(shè)加密圖像為C1，當(dāng)修改了某一個像素的灰度值后的加密圖像為C2。分別根據(jù)式(14)和(15)分別計算R，G，B層的NPCR和UCAI值，具體如表3所示。

從表3中可以看出當(dāng)原始幽像有微小的改變而將導(dǎo)致加密圖像有很大的改變，因此該算法具有良好的抗差分攻擊能力。

3、一次一密分析

根據(jù)Shannon提出的一次一密加密的算法是安全的原則，由于混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列具有不重復(fù)性，而由多個混沌系統(tǒng)共同生成的序列將更加不會重復(fù)，因此多混沌彩色加密算法屬于一次一密性的算法，由此可知該算法安全性是非常高的。

4、密鑰空間分析

一個好的加密算法應(yīng)該對密鑰非常敏感，并且密鑰空間要足夠大以抵抗窮舉攻擊法。多混沌加密算法的加密密鑰由各個混沌系統(tǒng)的密鑰共同確定，因此該加密算法有著更大的密鑰空間。假設(shè)計算機(jī)精度為1015，那么密鑰空間將遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1075(=1015* 1015* 1015*1O15*1015)。因為統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的x，Y和z。的取值范圍不僅僅限制在(0.1)
之間，更可以為(0，1)之外的其他一些實數(shù)，只要xi，yi和Zi的取值不超過計算機(jī)的計算范圍均可，并且還尚未計入Arnold的迭代此次作為密鑰的情況，這么大的密鑰空間足夠抵抗各種窮舉攻擊。

5、密鑰敏感性分析

由于混沌系統(tǒng)有著對初始值和參數(shù)及其敏感的天然性質(zhì)，下面對其進(jìn)行分析。

圖7是當(dāng)同定三個參數(shù)，而令另外一個參數(shù)發(fā)生微小變化(1015)的效果圖和直方圖。（加密密鑰為x=10，y=12，z=19，l=0.12和α=0.5）。（說明：這里為了與統(tǒng)一混沌系統(tǒng)中的z區(qū)別．Logistic的初始值設(shè)為l，下同），設(shè)同定初始值x、y和Z不變，僅初始值z=19.00000000000001，即z有微小的變化進(jìn)行解密，解密結(jié)果如圖7所示，說明即使密鑰有微小的差異也不能得到正確的圖像。

類似的，當(dāng)x，y和z不變，僅當(dāng)初始值Z有微小變化l=0.120000000000001時對加密后的彩色圖像進(jìn)行解密，結(jié)果如圖8所示，在這種情況也不能獲得正確的原始圖像。

通過圖7和圖8所觀察對應(yīng)的直方圖可以發(fā)現(xiàn)錯誤解密后彩色圖像的直方圖仍然保持均勻分布的特性，因此即使解密密鑰有微小的變化也不可能正確解密出原始圖像。

總而言之，該彩色圖像加密算法具有以下優(yōu)點：1)擁有非常大的密鑰空間；2）加密后的圖像有著非常好的統(tǒng)計特性；3）加密算法對密鑰非常敏感。

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