作為矩陣SVD的天然多線性延伸，高階張量奇異值分解(HOSVD)更適合于較高的三維圖像(等于或大于三維)。雖然HOSVD已經(jīng)應(yīng)用于圖像降噪、水印、復(fù)原和壓縮中，但到目前為止它并沒有應(yīng)用于彩色圖像（三維圖像）加密中。

一、HOSVD理論

為了便于區(qū)分標(biāo)量、向量、矩陣和高維張量，文中用不同形式區(qū)分標(biāo)量、一維向量、二維矩陣和三維張量（三維矩陣）。白體表示標(biāo)量，如a;小寫黑體表示一維向量，如a；大寫黑體表示二維矩陣，如A；花體表示三維張量，如A。高維張量的展開模型是HOSVD的一個重要步驟。一個張量的矩陣展開也就是張量的矩陣表示，所有的列（或行）向量被逐次堆疊。對于三維張量I1+12+J3，其三維展開如圖1所示，自上而下分別是l模式、2模式和3模式的展開。

對于一個三維張量，其HOSVD分解與重建為：

式中：S為奇異值張量；Xk為k模式乘法。通常情況下，公式(l)由公式(2)實(shí)現(xiàn)：

式中：A（k為A (k=1,2,3)的第k種展開模式；uk為其酉矩陣；Ⅳ表示張量的維數(shù)；⊙表示張量乘法(Kronecker乘法)。

二、提出的算法

文中提出的彩色圖像加密方法是基于GT域內(nèi)的HOSVD變換。

1、加密

對于彩色圖像A，它的3個信道AR(Xi，yi)，AG(Xi，Yi) ,Ab(Xi,yi)和隨機(jī)相位掩模exp[jφR (Xi，yi)]，exp[φG(Xi，yi)]，exp[jφB(Xi，yi)]相乘，相應(yīng)的隨機(jī)圖像經(jīng)過GT變換，其變換角度分別為αR，αG，αB：

三維張量g是gR，gG和gB的堆疊，如圖2(a)所示，瞬因?yàn)間的長、寬、高維度不同，在解密過程中，各分解部分會因?yàn)榫S度特征而很容易地被區(qū)分d為了改善這個問題，g首先變換成一個立方體三維張量g’，如圖2(b)所示。

然后對張量g’進(jìn)行分解，公式(2)中的參數(shù)N=3，通過g’三展開模式得到如下3個分解模型：

展開模式k被用作一個附加的密鑰。所有這些部分S(1)，s(2)，s(3)，u(1)，u(2)，u(3)經(jīng)過GT變換：

式中：ES(1)，ES(2)，ES(3)，Eu(1)，Eu(2)為密文甜此外，由于它們具有相同維度而不能彼此識別。

2、解密

在解密過程中，密文經(jīng)過逆GT變換，分別為：

然后g’按公式(2)重建，g’的3種模式為：

最后，從g'中恢復(fù)出g。

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