為獲得采用整型運(yùn)算的似混沌序列，基于Kaprekar變換并利用Kaprekar常數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)，構(gòu)造一種新的時(shí)間序列Kaprekar序列。利用時(shí)間序列的分析方法對(duì)Kaprekar序列進(jìn)行功率譜特性、相空間重構(gòu)、最大Lyapunov指數(shù)和主分量等方面的分析，與經(jīng)典Logistic序列進(jìn)行比較，得到Kaprekar序列與混沌序列的關(guān)系。

一、Kaprekar時(shí)間序列

1、Kaprekar變換

印度數(shù)學(xué)家D R Kaprekar提出一種稱(chēng)作Kaprekar變換的迭代操作，即：首先任意選擇一個(gè)各位數(shù)字不完全相同的4位自然數(shù)，即不能有1111，2 222，…等數(shù)，然后對(duì)這個(gè)數(shù)的各位數(shù)字重新排列，選出最大值與最小值，再將最大值與最小值之差作為新的數(shù)并重復(fù)進(jìn)行上述操作。Kaprekar變換操作非常簡(jiǎn)單，卻有一個(gè)驚人的結(jié)果：

所有選擇的數(shù)字在7次以?xún)?nèi)的上述操作之后都會(huì)收斂于6 174，并不再變化。以1 21 3為例，結(jié)果見(jiàn)表1。

從自然數(shù)用經(jīng)過(guò)若干次Kaprekar變換到6 174，產(chǎn)生的序列稱(chēng)作Kaprekar路徑。

2、Kaprekar變換的推廣

將Kaprekar變換推廣到2位、3位、5位、6位直至9位數(shù)，計(jì)算結(jié)果如表2所示。

此外，2位數(shù)雖然沒(méi)有收斂值，但收斂于1個(gè)循環(huán)；5位數(shù)與2位數(shù)類(lèi)似，但收斂于3個(gè)循環(huán)；6位數(shù)收斂于2個(gè)數(shù)值，還收斂于1個(gè)循環(huán)；7位數(shù)與2位數(shù)一樣，沒(méi)有收斂值，但收斂于1個(gè)循環(huán)；8位數(shù)收斂于2個(gè)數(shù)值，還收斂于2個(gè)循環(huán)；9位數(shù)收斂于2個(gè)數(shù)值，還收斂于2個(gè)循環(huán)。

3、Kaprekar序列

根據(jù)Kaprekar操作的特殊性質(zhì)，將符合條件的8 991個(gè)4位數(shù)的Kaprekar路徑連接成一維時(shí)間序列：

0 999 8 991 8 082 8 532 6174…1 998 8 082 8 532 6 174 0 999 8 991 8 082 8 532 6 174

此外，也可以用同樣的方法構(gòu)造其他位數(shù)的Kaprekar序列，只不過(guò)需要對(duì)收斂值做一點(diǎn)界定：如有循環(huán)，則從每個(gè)收斂循環(huán)中任意挑選一個(gè)數(shù)作為收斂值。每個(gè)數(shù)的Kaprekar路徑為到收斂值的路徑。

二、Kaprekar序列的時(shí)間序列分析

取4位數(shù)的Kaprekar序列為研究對(duì)象，與典型的Logistic序列相比較。3000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)就可以判斷一個(gè)序列為混沌時(shí)間序列，并可以重構(gòu)相空間。

1、功率譜分析

選取4位數(shù)Kaprekar序列的前3 000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行分析。利用FFT算法，可以對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行功率譜分析，圖1與圖2分別是Kaprekar序列與Logistic混沌序列的功率譜，可以看到，兩序列的功率譜沒(méi)有明顯區(qū)別，都呈現(xiàn)寬頻且無(wú)明顯的峰值特征。

2、主分量分析

主分量分析是一種能夠有效區(qū)分噪聲和混沌信號(hào)的方法。對(duì)于給定序列[x(1)，x(2)，…，x（n）]，進(jìn)行主分量分析的步驟如下：

首先，可以選取一個(gè)嵌入維數(shù)歷構(gòu)造軌線(xiàn)矩陣X(X∈Rkxm，k=N-(m-1)）：

然后計(jì)算其協(xié)方差矩陣A(A∈Rm*n)：

再計(jì)算A的所有特征值λi(i=1，2，…，m)，并按大小排列，求出：

最后，以i為X軸，In(λily)為y軸得到該時(shí)間序列的主分量譜。

混沌信號(hào)和噪聲的主分量分布有著明顯差異。混沌信號(hào)的主分量譜是一條過(guò)定點(diǎn)且斜率為負(fù)的直線(xiàn)（或含有類(lèi)似直線(xiàn)部分），噪聲則是一條與X軸接近平行的直線(xiàn)。圖3、圖4、圖5分別給出了Kaprekar序列、Logistic序列和高斯白噪聲的主分量分析結(jié)果，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，Kaprekar序列與Logistic混沌序列相似，而與噪聲不同，所以Kaprekar序列具有似混沌的特性。

三、相空間重構(gòu)與最大Lyapunov指數(shù)

在混沌系統(tǒng)中，任一分量的演化是由與之相互作用的其他分量所決定的，根據(jù)Takens的嵌入定理，只要選取合適的嵌入維數(shù)與時(shí)間延遲重構(gòu)相空間，就可以在拓?fù)涞葍r(jià)意義上恢復(fù)系統(tǒng)。

為了確定嵌入維數(shù)與時(shí)間延遲，采用H S Kim等提出的C-C算法，與Logistic序列比較如表3所示。

對(duì)初值條件非常敏感是混沌系統(tǒng)的基本特點(diǎn)，2個(gè)靠得很近的初值所產(chǎn)生的軌道，隨著時(shí)間推移按照指數(shù)分離。Lyapunov指數(shù)是對(duì)這種現(xiàn)象的定量描述。如果Lyapunov指數(shù)小于0，則相鄰點(diǎn)最終要收斂于一點(diǎn)；若Lyapunov指數(shù)大于0，則相鄰點(diǎn)最終要發(fā)散，如果軌道還有其他穩(wěn)定因素，則在此共同作用下形成混沌吸引子。因此，判斷Lyapunov指數(shù)的正負(fù)可以作為混沌系統(tǒng)的一個(gè)判斷標(biāo)準(zhǔn)。

采用Wolf方法計(jì)算時(shí)間序列的最大Lyapunov指數(shù)為1.186 2，說(shuō)明Kaprekar序列與混沌序列一樣對(duì)初始值非常敏感。

4、結(jié)論

對(duì)其他位數(shù)的Kaprekar序列進(jìn)行了類(lèi)似的分析，得出相同的結(jié)論：Kaprekar序列與Logistic混沌時(shí)間序列具有相似的特性。

三、Kaprekar序列在圖像加密中的應(yīng)用

1、圖像加密算法

混沌信號(hào)應(yīng)用于圖像加密中已取得了很好的加密效果。既然Kaprekar序列與混沌信號(hào)具有相似的性質(zhì)，將Kaprekar序列應(yīng)用在圖像加密中，可以預(yù)期獲得很好的加密效果。

實(shí)驗(yàn)中采用了一種基于貓映射和混沌序列加密算法，取得了滿(mǎn)意的加密效果。加密算法流程如圖6所示。

下面分別介紹貓映射算法與Kaprekar序列加密算法。

貓映射算法：對(duì)于N×N像素點(diǎn)的圖像，將像素點(diǎn)位置按照某一規(guī)則置亂。坐標(biāo)為（x，y）的像素點(diǎn)，按照：

移動(dòng)到新的坐標(biāo)(x'，y')，式(4)中，p，g為正整數(shù)，對(duì)N取模保證計(jì)算出的坐標(biāo)結(jié)果取值范圍與原圖像坐標(biāo)取值范圍相同。

Kaprekar序列加密：Kaprekar序列加密算法對(duì)每個(gè)像素的像素值進(jìn)行擾動(dòng)，對(duì)于整個(gè)圖像，經(jīng)過(guò)第k次加密后的像素值為：

式中：C(k)為本次加密后的圖像的像素值矩陣；C(k-1)為上次加密后的像素值矩陣；I(k)為從Kaprekar序列數(shù)值處理得到的整數(shù)值矩陣；P(k)為原始圖像的像素值矩陣。

圖像加密具體算法步驟如下：

步驟1：將圖像按照貓映射算法進(jìn)行像素位置置亂，遍歷每個(gè)像素點(diǎn)，按照式(4)計(jì)算其新的位置。并輸出位置置亂后的圖像。進(jìn)行M次置亂，每一次置亂之后，同時(shí)改變p，g的值，使得：

式中：p(m)，q(m)為第聊次置亂采用的p，g；K(.)為Kaprekar操作。

步驟2：獲得Kaprekar加密序列（在此采用4位數(shù)Kaprekar序列與5位數(shù)Kaprekar序列，因?yàn)橄袼刂禐镺到255之間的整數(shù)，將4位數(shù)Kaprekar序列與5位數(shù)Kaprekar序列分別歸一化為O到255的整數(shù)并連接在一起）。

選定Kaprekar初始值，此處選擇0001（高位包含3個(gè)0表示4位數(shù)的1）。

步驟3：將Kaprekar加密序列轉(zhuǎn)化為NxN矩陣。

步驟4：確定初始加密條件C(O)，采用式(5)，完成指定次數(shù)的加密。

實(shí)驗(yàn)中，原始圖像為L(zhǎng)ena圖像，初始加密條件選C(O)為零矩陣。

2、實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖7為原始的Lena圖像，經(jīng)過(guò)貓映射后得到圖8，此時(shí)圖像的直方圖分布并未發(fā)生改變，圖12為圖7的直方圖，圖13為圖8的直方圖。取Kaprekar序列作為加密序列得到圖9，此時(shí)圖像的直方圖分布已經(jīng)變?yōu)閳D14。

整個(gè)加密過(guò)程，既改變了像素位置，又改變了像素的值。圖10為解密得到正確的圖像。圖11為在實(shí)驗(yàn)中用錯(cuò)一位的I(k)去解密得到錯(cuò)誤圖像，說(shuō)明Kaprekar序列與混沌序列一樣對(duì)初始值極為敏感。其他圖像應(yīng)用本加密算法也取得了相似的結(jié)果。

3、結(jié)果分析

直方圖分析可以很好地反映出圖像加密算法抵御統(tǒng)計(jì)攻擊的能力。加密后的圖像直方圖分布越均勻，則抵抗統(tǒng)計(jì)攻擊的能力越強(qiáng)。原始圖像的直方圖具有明顯的統(tǒng)計(jì)特性，在進(jìn)行貓映射變換后，雖然圖像發(fā)生了變化，但是直方圖分布并未變換，仍然具有原始圖像的統(tǒng)計(jì)特性。而經(jīng)過(guò)Kaprekar時(shí)間序列加密后，圖像的直方圖已經(jīng)趨于均勻分布，大大增加了抵御統(tǒng)計(jì)攻擊的能力。

實(shí)驗(yàn)中，貓映射加密階段采用了2個(gè)自然數(shù)為密鑰：a，b都是O到255的任意整數(shù)。進(jìn)行貓映射的次數(shù)也是一個(gè)密鑰，取值范圍也為O到255。在Kaprekar序列加密階段，Kaprekar序列的初始值為一個(gè)無(wú)符號(hào)的長(zhǎng)整型數(shù)據(jù)，取值范圍為O到(232-1)。加密次數(shù)一般取2到8，此外還需要確定初始加密條件C(O)，C(O)包含N2個(gè)0到255之間的整數(shù)元素。綜上所述，密鑰空間為：2563x232xN2x6。

而對(duì)Logistic序列而言，因?yàn)長(zhǎng)ogistic序列的每個(gè)元素都為雙精度浮點(diǎn)數(shù)，由于計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)限制，Logistic序列的數(shù)據(jù)精度一般取十萬(wàn)分之一，故Logistic序列加密的密鑰空間為：2563x105xN2x6。

所以從計(jì)算復(fù)雜度來(lái)看，Kaprekar序列具有整數(shù)存儲(chǔ)的優(yōu)勢(shì)，可取密鑰空間更大。

像素值的改變率(Number of Pixels Change Rate，NPCR)和圖像的整體平均變化密度(Unified Average ChangingIntensity，UACI)是用來(lái)衡量加密算法抗差分攻擊能力的指標(biāo)。如果圖像某個(gè)像素值的改變可以大大改變加密后圖像，則加密算法具有好的抗差分攻擊的能力。

通過(guò)與Logistic序列作為加密序列的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，可得出兩者具有相似的抗差分攻擊的能力，如表4所示。

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