為了保護圖像信息的安全，我們利用組合理論知識，提出一種新的基于可逆整數(shù)矩陣的、具有完整性檢驗能力的圖像加密方案。該方案將一個灰度圖像加密生成一個脆弱的噪聲密圖，解密過程是加密的簡單逆過程。密圖的完整性可以憑借人類視覺系統(tǒng)進行檢驗，不需要任何復雜的計算。當密圖遭受惡意篡改時，解密得到一個噪聲圖，無法得到原始圖像的任何信息。

一、關于模M的可逆整數(shù)矩陣

基于組合理論的性質，利用一個整數(shù)導出了可逆整數(shù)矩陣和其逆矩陣的表達式。設給定整數(shù)x≥O，由關系式：

為元素可以定義一個n階方陣：

它的元素都是整數(shù)，稱之為整數(shù)矩陣。以關系式：

為元素可以構造一個與A(x)互逆的n階整數(shù)矩陣：

其中規(guī)定：Co1=1，且當n<m或m<0時Cnm=O。

由資料證明可知，所構造的矩陣A(x)和B(x)互逆，且矩陣均由x決定。在圖像加密過程中，x可以作為加解密的密鑰。

但是由于計算組合數(shù)的緣故，導出生成的可逆矩陣元素值可能非常大，以致超過256灰度級的范圍。為了解決這個問題，將以上得到的可逆矩陣的所有元素模M。顯而易見，模M后的矩陣同樣是?？赡娴?，即：

其中A'和B'分別是A和B模M后的矩陣。由于圖像的灰度級為256，為了使得加密后的密圖仍為256的灰度級別，本文中令M為256。

二、基于可逆整數(shù)矩陣的圖像加密方案

一幅灰度圖G可以視為一個元素值為[O，255]的整數(shù)矩陣。本方案首先給出密鑰x、M= 256、以及密鑰矩陣的大小blocksize，然后根據(jù)前面描述的算法，產(chǎn)生一對模256的可逆矩陣A和B，其值的范圍為[O，255]。在加密方案中，矩陣B用來作為加密的密鑰，而A用來作為解密的密鑰。 A和B均可由x導出生成，在加密解密過程中，僅需要把x作為密鑰保存即可。

加密前對秘密圖像進行預處理，即將原始圖像的像素加128，目的是為了處理全黑的特殊情況。解密恢復時，把得到的結果相應的減去128。假定，經(jīng)過預處理之后的灰度圖像為：

其中gij為圖像坐標(i，j)處的灰度值。

1、加密過程

加密過程分為兩個過程，具體描述如下：

Phase 1 將密鑰矩陣B從圖像G的左上角，以1/4 - blocksize的步驟，從左到右，從上到下覆蓋地掃描到右下角，得到Gfo移動過程中，密鑰矩陣B和掃描經(jīng)過的圖像塊block的作用方式：

Phase 2 將密鑰矩陣B從G'右下角，以1/4-blocksize的步驟，從右到左，從下到上覆蓋地掃描到左上角，得到G''。移動過程中，密鑰矩陣B和掃描經(jīng)過的圖像塊block的作用方式：

加密過程中的掃描方式，決定了塊的變化將對其他塊的恢復產(chǎn)生影響。而掃描過程中，加密矩陣和矩陣塊的作用方式，決定了塊內(nèi)點的變化將對塊內(nèi)其他點的恢復產(chǎn)生影響，這就增加了像素點之間的相關性。這樣，加密圖像出現(xiàn)微小變化，將影響到恢復圖像的全局變化。因此，該圖像的加密方案是脆弱的。該性質可以用作圖像信息的完整性檢驗。

2、解密過程

解密密鑰A同樣可由x生成導出，且A與B是模256的可逆矩陣。解密過程是加密的簡單逆過程，也分為兩個階段，具體流程如下：

Phase 1 將密鑰矩陣A從G"的左上角，以1/4-blocksize的步驟，從左到右，從上到下覆蓋地掃描到右下角，得到G'。而移動過程，密鑰矩陣A和掃描經(jīng)過的矩陣塊block的作用方式：

Phase 2 將密鑰矩陣A從G'的右下角，以1/4-blocksize的步驟，從右到左，從下到上覆蓋的掃描到左上角，得到圖像G。而移動過程中，密鑰矩陣4和掃描經(jīng)過的矩陣塊block的作用方式：

最后，將圖像G的像素按照預處理的逆過程減去128，便可得到原始的秘密圖像。

三、實驗結果及分析

1、實驗結果

在實驗中，令密鑰x=1，blocksize=32，M= 256。根據(jù)前面描述的算法，產(chǎn)生一對模256的可逆整數(shù)矩陣A和B，作為密鑰矩陣。選擇復雜圖像Fishingboat，Lena，Clock，Babooi和簡單黑白圖像S作為測試圖像，所有測試圖像大小均為256-256。系統(tǒng)環(huán)境Wmdows7，安裝內(nèi)存2G，CPU2.90GHZ，實驗測試環(huán)境matlab7.9 0實驗結果如圖1所示。

圖1的實驗結果表明，不管是復雜的自然圖像，還是輪廓明顯的簡單黑白圖像，加密后的密圖是一個均勻的噪聲圖。而且，當密圖中的某一個像素發(fā)生微小變化時，解密得到的圖像仍然是噪聲圖，得不到原始圖像的任何信息，所以該加密方案是脆弱、易損的。通過人眼視覺可以判斷該秘密圖像是否被篡改，從而檢驗密圖信息的完整性，不需要任何復雜的計算。實驗結果表明了圖像加密方案的有效性。

本文為了客觀的描述加密圖像與原始圖像的差別，利用兩圖像的相關系數(shù)作為圖像相似性的客觀度量。

為了比較，本文對Lena圖像分別利用本文方案和Arnold置亂方案網(wǎng)進行測試，實驗結果如圖2所示。結果表示，當密圖中的某一像素發(fā)生微小變化時，利用本文方案解密得到的恢復圖依然是個噪聲圖(與原始圖像的相關系數(shù)：= 0.0005)，而Arnold方案卻可以恢復出原始圖像的許多信息（與原始圖像的相關系數(shù)）=0.9999。

2、安全性分析

在進行安全性分析前，介紹本文所描述的一個定理，即Zm上n階可逆矩陣的個數(shù)為：

其中M≥2為整數(shù)，M=P1r1，p2r2，psrs為M的既約因子分解ri≥1(i=1，2...，s)，p1，p2，…，Ps為互異的素數(shù)。

在本文加密方案中，由于模數(shù)M為256時，當n= 10時，N10(256)=9j=1(210，2j)2700，此時密鑰空間足夠大，足以抵抗大量攻擊。

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